Доказать, что два прямоугольных равнобедренных треугольника равны, если равны их гипотенузы.

Дано: Два прямоугольных равнобедренных треугольника с равными гипотенузами. Доказать: Треугольники равны. Доказательство: 1. Пусть даны два прямоугольных равнобедренных треугольника \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_1B_1C_1\), где \(\angle C = \angle C_1 = 90^\circ\), \(AC = BC\), \(A_1C_1 = B_1C_1\) и \(AB = A_1B_1\) (гипотенузы равны). 2. Так как треугольники равнобедренные, то \(AC = BC\) и \(A_1C_1 = B_1C_1\). 3. По теореме Пифагора, в \(\triangle ABC\): \(AB^2 = AC^2 + BC^2 = AC^2 + AC^2 = 2AC^2\). Следовательно, \(AC = \frac{AB}{\sqrt{2}}\). 4. Аналогично, в \(\triangle A_1B_1C_1\): \(A_1B_1^2 = A_1C_1^2 + B_1C_1^2 = A_1C_1^2 + A_1C_1^2 = 2A_1C_1^2\). Следовательно, \(A_1C_1 = \frac{A_1B_1}{\sqrt{2}}\). 5. Так как \(AB = A_1B_1\) (по условию), то \(\frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{A_1B_1}{\sqrt{2}}\) => \(AC = A_1C_1\). 6. Следовательно, \(AC = A_1C_1\) и \(BC = B_1C_1\). 7. Таким образом, \(\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1\) (по трем сторонам). Что и требовалось доказать.