Для любого числа х € R докажите справедливость неравенства: (x^2+6x+6)/2+2/(x^2+6x+10)>=0, найдите значения x, при которых левая часть неравенства равна правой.

\[\frac{x^{2} + 6x + 6}{2} + \frac{2}{x^{2} + 6x + 10} \geq 0\]

\[Пусть\ t = x^{2} + 6x + 6:\]

\[\frac{t}{2} + \frac{2}{t + 4} \geq 0\]

\[\frac{t(t + 4) + 4}{2 \cdot (t + 4)} \geq 0\]

\[\frac{t^{2} + 4t + 4}{2 \cdot (t + 4)} \geq 0\]

\[\frac{(t + 2)^{2}}{2 \cdot (t + 4)} \geq 0\]

\[\frac{\left( x^{2} + 6x + 6 + 2 \right)^{2}}{2 \cdot \left( x^{2} + 6x + 6 + 4 \right)} \geq 0\]

\[\frac{\left( x^{2} + 6x + 8 \right)^{2}}{2 \cdot (x + 3)^{2} + 2} \geq 0\]

\[x^{2} + 6x + 8 = 0\]

\[x_{1} = - 4;\ \ \ x_{2} = - 2.\]

\[Ответ:\ при\ \ x = - 4;\ x = - 2.\]