3. Даны точки A(1; 5), B(-3; 2) и C(2; 3). Найдите: 1) координаты векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$; 2) модули векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$; 3) координаты вектора $\vec{DM} = 3\vec{CA} - 4\vec{CB}$; 4) скалярное произведение векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$;

1) Координаты вектора $\vec{CA}$ находим как (координаты конца - координаты начала): $\vec{CA} = (1-2; 5-3) = (-1; 2)$. Аналогично, $\vec{CB} = (-3-2; 2-3) = (-5; -1)$. 2) Модуль вектора (его длина) находится по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$, где x и y - координаты вектора. $|\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$. $|\vec{CB}| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25+1} = \sqrt{26}$. 3) $\vec{DM} = 3\vec{CA} - 4\vec{CB} = 3(-1; 2) - 4(-5; -1) = (-3; 6) - (-20; -4) = (-3+20; 6+4) = (17; 10)$. 4) Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ равно $x_1x_2 + y_1y_2$. Значит, $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-1)(-5) + (2)(-1) = 5 - 2 = 3$. Ответ: 1) $\vec{CA}(-1; 2)$, $\vec{CB}(-5; -1)$; 2) $|\vec{CA}| = \sqrt{5}$, $|\vec{CB}| = \sqrt{26}$; 3) $\vec{DM}(17; 10)$; 4) $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 3$