15. Дана функция $f(x)=|x|x-|x|-3x$. 1) Постройте график функции $y = f(x)$. 2) При каких значениях $m$ уравнение $f(x)=m$ имеет ровно два решения?

Решение: 1) Построим график функции $y = f(x)$. Сначала рассмотрим функцию $f(x)$ при различных значениях $x$: - Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и $f(x) = x \cdot x - x - 3x = x^2 - 4x$. - Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и $f(x) = -x \cdot x - (-x) - 3x = -x^2 + x - 3x = -x^2 - 2x$. Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно: $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, & x \geq 0 \\ -x^2 - 2x, & x < 0 \end{cases}$ Для построения графика определим ключевые точки для каждой части. - Для $x \geq 0$: $f(x) = x^2 - 4x$. Это парабола с вершиной в точке $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. Значение функции в вершине: $f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Пересечение с осью $x$: $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x-4) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = 4$. - Для $x < 0$: $f(x) = -x^2 - 2x$. Это перевернутая парабола с вершиной в точке $x_v = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$. Значение функции в вершине: $f(-1) = -(-1)^2 - 2 \cdot (-1) = -1 + 2 = 1$. Пересечение с осью $x$: $-x^2 - 2x = 0 \Rightarrow -x(x+2) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = -2$. Теперь мы можем нарисовать график функции. ```html ``` 2) Уравнение $f(x) = m$ имеет ровно два решения, когда горизонтальная прямая $y = m$ пересекает график функции $f(x)$ ровно в двух точках. Из графика видно, что это происходит при $m = -4$ и $m = 1$. Ответ: Уравнение $f(x) = m$ имеет ровно два решения при $m = -4$ и $m = 1$. **Ответ: -4; 1**