15. Дана функция $f(x)=|x-3|-|x+3|$. 1) Постройте график функции $y = f(x)$. 2) При каких значениях $k$ уравнение $f(x) = kx$ имеет ровно три решения?

1) Построим график функции $f(x) = |x-3| - |x+3|$. Для этого рассмотрим функцию на разных интервалах: * Если $x < -3$, то $|x-3| = -(x-3)$ и $|x+3| = -(x+3)$. Тогда $f(x) = -(x-3) - (-(x+3)) = -x + 3 + x + 3 = 6$. * Если $-3 \le x < 3$, то $|x-3| = -(x-3)$ и $|x+3| = x+3$. Тогда $f(x) = -(x-3) - (x+3) = -x + 3 - x - 3 = -2x$. * Если $x \ge 3$, то $|x-3| = x-3$ и $|x+3| = x+3$. Тогда $f(x) = (x-3) - (x+3) = x - 3 - x - 3 = -6$. Таким образом, функция имеет вид: $f(x) = \begin{cases} 6, & x < -3 \\ -2x, & -3 \le x < 3 \\ -6, & x \ge 3 \end{cases}$ Теперь построим график этой функции. 2) Определим, при каких значениях $k$ уравнение $f(x) = kx$ имеет ровно три решения. Уравнение $f(x) = kx$ представляет собой пересечение графика функции $f(x)$ и прямой $y = kx$. Заметим, что прямая $y = kx$ всегда проходит через начало координат. Чтобы было три решения, прямая должна пересекать график в трех точках. * При $k = -2/3$, прямая $y = kx = -2/3x$ пересекает левый горизонтальный участок графика $f(x)=6$ при $x<-3$ в одной точке и совпадает с графиком $f(x)=-2x$ при $-3 \le x < 3$, то есть решений будет бесконечно много. * При $k = -2$, прямая $y = kx = -2x$ совпадает с графиком $f(x)$ на интервале $[-3; 3]$, то есть решений будет бесконечно много. * При $k=2/3$, прямая $y = kx = 2/3x$ пересекает график $f(x)$ только в одной точке. Прямая $y=kx$ должна пересечь график $f(x)$ в трех точках, чтобы уравнение $f(x)=kx$ имело ровно три решения. Это возможно, когда прямая касается "угла" графика функции $f(x)$ при $x=-3$ или $x=3$. * $y(-3) = f(-3) = -2(-3) = 6$ , $k= -2/3$ * $y(3) = f(3) = -6$ , $k = -2$ При этих значениях уравнение имеет больше, чем три решения. Нужно найти $k$ так, чтобы уравнение имело ровно три решения, то есть, чтобы прямая $y = kx$ пересекала все три участка графика $f(x)$. Такое возможно, когда прямая проходит через точку $(-3, 6)$ или $(3, -6)$. Значит, чтобы было три решения, $k$ должно быть таким, чтобы прямая пересекала горизонтальные участки графика. При этом, на участке $-3 \le x < 3$ должно быть одно решение, отличное от $x = 0$. Такое возможно, когда прямая $y = kx$ проходит между горизонтальным участком графика и участком наклонной прямой $y = -2x$. Таким образом, такого значения $k$ не существует. Ответ: Таких значений $k$ не существует.