16. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его диагональ $B_1D$ составляет с ребром $AD$ угол $45°$, а с ребром $DC$ угол $60°$. Найдите угол между прямыми $B_1D$ и $DD_1$.

Обозначим ребра параллелепипеда $AD = a$, $DC = b$, $DD_1 = c$. Пусть $\angle B_1DA = 45^{\circ}$ и $\angle B_1DC = 60^{\circ}$. Нужно найти угол $\angle B_1DD_1$. В прямоугольном треугольнике $B_1DA$ имеем $\tan(\angle B_1DA) = \frac{B_1A}{AD} = \frac{\sqrt{b^2+c^2}}{a} = 1$, значит, $a^2 = b^2 + c^2$. В прямоугольном треугольнике $B_1DC$ имеем $\tan(\angle B_1DC) = \frac{B_1C}{DC} = \frac{\sqrt{a^2+c^2}}{b} = \sqrt{3}$, значит, $a^2 + c^2 = 3b^2$. Подставим $a^2 = b^2 + c^2$ во второе уравнение: $b^2 + c^2 + c^2 = 3b^2$, откуда $2c^2 = 2b^2$, следовательно, $c = b$. Тогда $a^2 = b^2 + b^2 = 2b^2$, откуда $a = b\sqrt{2}$. В прямоугольном треугольнике $B_1DD_1$ имеем $\tan(\angle B_1DD_1) = \frac{B_1D_1}{DD_1} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c} = \frac{\sqrt{2b^2+b^2}}{b} = \frac{\sqrt{3b^2}}{b} = \sqrt{3}$. Следовательно, $\angle B_1DD_1 = \arctan(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$. Ответ: $\angle B_1DD_1 = 60^{\circ}$