4. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. В данном треугольнике проведена высота CD. Запиши величину угла А, если DB = 8, a BC = 16.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, CD - высота, проведенная к гипотенузе AB. Рассмотрим треугольник BCD. Он прямоугольный, так как CD - высота. Мы знаем, что $DB = 8$ и $BC = 16$. Тогда, $\sin(\angle CBD) = \frac{CD}{BC}$. Так же, рассмотрим треугольник ABC. Угол A является одним из острых углов. Угол CBD = углу B. Из треугольника BCD, по теореме Пифагора, найдем CD: $$CD^2 + DB^2 = BC^2$$ $$CD^2 + 8^2 = 16^2$$ $$CD^2 + 64 = 256$$ $$CD^2 = 192$$ $$CD = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$$ Теперь найдем синус угла B в треугольнике BCD: $$\sin(B) = \frac{CD}{BC} = \frac{8\sqrt{3}}{16} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ - это 60 градусов. Следовательно, угол B = 60 градусов. В прямоугольном треугольнике ABC сумма острых углов равна 90 градусов. Поэтому: $$ \angle A + \angle B = 90° $$ $$ \angle A + 60° = 90° $$ $$ \angle A = 90° - 60° $$ $$ \angle A = 30° $$ Ответ: 30°