18. Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°? Ответ обоснуйте.

Вот таблица значений синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°: | Угол | \( sin \) | \( cos \) | \( an \) | | :------ | :----------: | :----------: | :----------: | | 30° (\( \frac{\pi}{6} \)) | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | | 45° (\( \frac{\pi}{4} \)) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | 1 | | 60° (\( \frac{\pi}{3} \)) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) | \( \sqrt{3} \) | **Обоснование:** * **30°:** Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом 30°. Если гипотенуза равна 2, то катет, лежащий против угла 30°, равен 1 (половина гипотенузы). По теореме Пифагора, второй катет равен $$\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$$. Тогда: * \( \sin 30° = \frac{1}{2} \) * \( \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \) * \( \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \) * **45°:** Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник. Если катеты равны 1, то гипотенуза равна $$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$. Тогда: * \( \sin 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) * \( \cos 45° = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) * \( \tan 45° = 1 \) * **60°:** Угол 60° – это дополнение угла 30° до 90°. Поэтому можно воспользоваться предыдущими вычислениями для 30°, но поменять местами катеты. Следовательно: * \( \sin 60° = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \) * \( \cos 60° = \sin 30° = \frac{1}{2} \) * \( \tan 60° = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \) **Объяснение для школьника:** Представь, что у тебя есть специальные треугольники с углами 30, 45 и 60 градусов. Зная, как устроены эти треугольники, ты можешь найти синус, косинус и тангенс для этих углов. Например, для угла 30° можно представить треугольник, где короткая сторона в два раза меньше длинной. Для угла 45° представь равнобедренный треугольник. Ну, а для 60° можно воспользоваться знанием про 30°, ведь они "дружат" друг с другом и вместе составляют прямой угол!