B2. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна $2\sqrt{3}$, тангенс угла между диагональю призмы и плоскостью основания равен $\sqrt{3}$. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через параллельные диагонали двух противоположных боковых граней призмы.

Пусть сторона основания равна $a = 2\sqrt{3}$. Пусть высота призмы равна $h$. Тангенс угла между диагональю призмы и плоскостью основания равен $\sqrt{3}$, то есть: $\tan(\alpha) = \frac{h}{a\sqrt{2}} = \sqrt{3}$ $h = a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ Площадь сечения, проходящего через диагонали двух противоположных боковых граней, представляет собой прямоугольник со сторонами, равными диагонали основания и высоте призмы. Диагональ основания равна $a\sqrt{2} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{6}$. Площадь сечения равна: $S_{сеч} = h \cdot a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6} = 12\sqrt{12} = 12 \cdot 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ Ответ: $24\sqrt{3}$