B3. Через диагональ основания правильной четырёхугольной призмы параллельно диагонали призмы проведено сечение. Диагональ основания призмы равна $2\sqrt{2}$, а площадь сечения равна $2\sqrt{3}$. Найдите диагональ призмы.

Пусть диагональ основания призмы равна $d = 2\sqrt{2}$. Площадь сечения равна $2\sqrt{3}$. Сечение, проведенное через диагональ основания параллельно диагонали призмы, является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника - диагональ основания $d$, а другая - высота этого прямоугольника, которую обозначим через $x$. Тогда площадь сечения $S = d \cdot x$, откуда $x = \frac{S}{d} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой призмы $x$, диагональю основания $d$ и диагональю призмы $D$. По теореме Пифагора: $D^2 = d^2 + x^2$ $D^2 = (2\sqrt{2})^2 + (\frac{\sqrt{6}}{2})^2 = 8 + \frac{6}{4} = 8 + \frac{3}{2} = \frac{16+3}{2} = \frac{19}{2}$ $D = \sqrt{\frac{19}{2}} = \frac{\sqrt{38}}{2}$ Ответ: $\frac{\sqrt{38}}{2}$