б) Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 15 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC. Вписанная окружность касается стороны AB в точке K и делит ее на отрезки AK = 15 и KB = 4. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных, проведенных из вершины B к окружности, равны: BK = BM = 4. Аналогично, отрезки касательных из вершины A равны: AK = AN = 15. Так как треугольник равнобедренный, то AC = AN + NC = AK + KC. Поскольку KC = MC, и MC = BC - BM, то KC = BC - 4. Получаем: AC = 15 + BC - 4 = 11 + BC. С другой стороны, BC = BK + KC = 4 + KC. Тогда AC = 11 + 4 + KC = 15 + KC, следовательно, AN + NC = 15 + KC Так как AN = 15, то 15 + NC = 15 + KC. Тогда NC = KC. Так как BM = BK, MC = KC и AN = AK, NC = KC то из этого следует, что BM = 4, MC = KC, AN = 15, NC = KC Тогда AC = AN + NC = 15 + KC, AB = AK + KB = 15 + 4 = 19, BC = BM + MC = 4 + KC. Так как AB = BC, то 19 = 4 + KC, следовательно KC = 15. Тогда AC = 15 + 15 = 30. Периметр треугольника ABC равен: P = AB + BC + AC = 19 + 19 + 30 = 68. Ответ: 68