203. a) Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 9 и 1, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC. Вписанная окружность касается стороны AB в точке K и делит ее на отрезки AK = 9 и KB = 1. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных, проведенных из вершины B к окружности, равны: BK = BM = 1. Аналогично, отрезки касательных из вершины A равны: AK = AN = 9. Так как треугольник равнобедренный, то AC = AN + NC = AK + KC. Поскольку KC = MC, и MC = BC - BM, то KC = BC - 1. Получаем: AC = 9 + BC - 1 = 8 + BC. С другой стороны, BC = BK + KC = 1 + KC. Тогда AC = 8 + 1 + KC = 9 + KC, следовательно, AN + NC = 9 + KC Так как AN = 9, то 9 + NC = 9 + KC. Тогда NC = KC. Так как BM = BK, MC = KC и AN = AK, NC = KC то из этого следует, что BM = 1, MC = KC, AN = 9, NC = KC Тогда AC = AN + NC = 9 + KC, AB = AK + KB = 9 + 1 = 10, BC = BM + MC = 1 + KC. Так как AB = BC, то 10 = 1 + KC, следовательно KC = 9. Тогда AC = 9 + 9 = 18. Периметр треугольника ABC равен: P = AB + BC + AC = 10 + 10 + 18 = 38. Ответ: 38