571. В треугольнике ABC медианы AA1 и BB1 пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника AВО равна S.

Точка пересечения медиан треугольника (центроид) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, AO:OA1 = 2:1 и BO:OB1 = 2:1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, т.е. с равными площадями. Рассмотрим треугольник АВС. Медиана AA1 делит его на два треугольника с равными площадями: S(ABA1)=S(ACA1)=1/2S(ABC). Рассмотрим треугольник ABB1. Медиана AA1 делит его на два треугольника: ABO и AB1O. Площадь S(ABO) = S. Так как медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, то S(AB1O)=1/2S(ABO) = S/2. S(AB1B)= S+ S/2 =3S/2 Так как BB1 медиана треугольника АВС, S(ABB1) = S(CBB1) и площадь треугольника АВС равна 2*S(ABB1) = 2*3S/2= 3S. Треугольник ABO составляет 1/3 от площади треугольника ABB1 и 1/6 от площади треугольника ABC Площадь треугольника ABC = 3 * S (треугольника ABO) * 2= 6 * S/2 = 3S. Ответ: Площадь треугольника ABC равна 3S.