5. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 60°. На катете BC отметили точку K такую, что ∠AKC = 60°. Найдите отрезок CK, если BK = 12 см.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 60°, следовательно угол B равен 180 - 90 - 60 = 30°. В треугольнике AKC угол AKC равен 60°. Так как угол ACB равен 90°, угол CAK равен 180 - 90 - 60 = 30°. Тогда треугольник AKC - равнобедренный, так как углы CAK и AKC равны по 30 градусов, следовательно CK = AC. В треугольнике АВС катет АС равен половине гипотенузы АВ (свойство катета лежащего напротив угла 30 градусов). Рассмотрим треугольник АВК, угол АВК равен 30 градусам, а угол ВАК равен 30+60=90. Следовательно АК - биссектриса угла ВАС. По свойству биссектрисы АК / ВK = AC / BC. Тогда АК/12 = AC/BC, AC=BK=12. Так как треугольник AKC - равнобедренный, и AC = CK, следовательно CK = 12. Ответ: Отрезок CK равен 12 см.