4. Используя формулу для определения давления столба жидкости p = ρgh, докажите, что в сообщающихся сосудах отношение высот столбов жидкостей с разными плотностями (см. рис. 123) равно обратному отношению плотностей.

В сообщающихся сосудах давление на одном уровне одинаково. Рассмотрим две жидкости с разными плотностями \(\rho_1\) и \(\rho_2\) и высотами \(h_1\) и \(h_2\) соответственно. Давление, создаваемое каждой жидкостью, равно: \[p_1 = \rho_1gh_1\] \[p_2 = \rho_2gh_2\] Поскольку давления на одном уровне одинаковы, то \(p_1 = p_2\), тогда: \[\rho_1gh_1 = \rho_2gh_2\] Сокращаем g, получаем: \[\rho_1h_1 = \rho_2h_2\] Отсюда отношение высот равно обратному отношению плотностей: \[\frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}\] Таким образом, доказано, что отношение высот столбов жидкостей обратно пропорционально отношению их плотностей.