3. AB и CD — перпендикуляры к прямой BD, точки A и C лежат по разные стороны от прямой BD. Докажите, что BC || AD, если AB = CD.

Дано: AB ⊥ BD, CD ⊥ BD, точки A и C лежат по разные стороны от BD, AB = CD. Нужно доказать, что BC || AD. Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔABD и ΔCDB. У них: 1) AB = CD (по условию), 2) BD - общая сторона. 3) ∠ABD = ∠CDB = 90° (по условию). Следовательно, ΔABD = ΔCDB (по катету и гипотенузе). Из равенства треугольников следует, что ∠ADB = ∠CBD и ∠ABD = ∠CDB = 90°. Поскольку ∠ADB = ∠CBD, а это накрест лежащие углы для прямых AD и BC и секущей BD, то BC || AD. Ч.т.д.