128. Докажите, заполнив пропуски, свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle ACB = 90^\circ\), \(\angle ABC = \)__. Доказать: __\( = \frac{1}{2}AB \). Доказательство. 1) Отметим на луче AC точку D так, что __. Соединим точки B и D (дополнительное построение). 2) \(\angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) (так как сумма углов треугольника равна 180° и \(\triangle ABC\) - __). \(\triangle ABC = \triangle DBC \) (__). 3) \(\angle CBD + \angle CBA = 60^\circ\) (__). \(\angle CBD = \angle CBA \) (из п.__). 4) \(\angle D = \angle A = 60^\circ\) (из п. __ и __). \(AB = AD = BD\) (из п. __ и __). \(AC = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} AB\). Теорема доказана.

{ "Дано": "\(\triangle ABC\), \(\angle ACB = 90^\circ\), \(\angle ABC = 30^\circ\)", "Доказать": "\(AC = \frac{1}{2}AB\)", "Доказательство": { "1": "Отметим на луче AC точку D так, что \(AC = CD\). Соединим точки B и D (дополнительное построение).", "2": "\(\angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) (так как сумма углов треугольника равна 180° и \(\triangle ABC\) - прямоугольный). \(\triangle ABC = \triangle DBC\) (по двум сторонам и углу между ними).", "3": "\(\angle CBD + \angle CBA = 60^\circ\) (смежные углы). \(\angle CBD = \angle CBA\) (из п. 2).", "4": "\(\angle D = \angle A = 60^\circ\) (из п. 2 и 3). \(AB = AD = BD\) (из п. 3 и свойства равностороннего треугольника). \(AC = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} AB\)." }, "Пояснение": "В первом шаге мы ввели дополнительную точку D на луче AC так, чтобы AC = CD. Это построение позволит нам в дальнейшем использовать свойства равнобедренных и равносторонних треугольников. Во втором шаге мы показали, что \(\angle A = 60^\circ\), а так же, что треугольники ABC и DBC равны. Третьем шаге показали, что \(\angle CBD + \angle CBA = 60^\circ\) и что \(\angle CBD = \angle CBA \) . В четвертом шаге мы доказали что \(\angle D = \angle A = 60^\circ\) и что отрезки AB = AD = BD, откуда следует AC = 1/2 AD = 1/2 AB." }