№1 В треугольнике ABC углы A и C равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD.

В треугольнике ABC даны углы \(\angle A = 40^\circ\) и \(\angle C = 60^\circ\). Первым делом найдем угол \(\angle B\) треугольника ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому: \(\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ\) Теперь рассмотрим высоту BH. Так как BH - высота, угол \(\angle BHA = 90^\circ\). В треугольнике ABH угол \(\angle BAH = 40^\circ\), значит, угол \(\angle ABH = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\). BD - биссектриса угла B, следовательно, угол \(\angle ABD = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ\). Нам нужно найти угол между высотой BH и биссектрисой BD, то есть угол \(\angle HBD\). \(\angle HBD = \angle ABH - \angle ABD = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ\) Ответ: 10°