№9. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 4.

Решение: 1. Т.к. AM - биссектриса угла A, то \(\angle BAM = \angle MAD\). Т.к. BC || AD, то \(\angle BMA = \angle MAD\) как накрест лежащие углы. Следовательно, \(\angle BAM = \angle BMA\), а значит \(\triangle ABM\) - равнобедренный, и \(AB = BM = 4\). 2. Аналогично, т.к. DM - биссектриса угла D, то \(\angle ADM = \angle MDC\). Т.к. BC || AD, то \(\angle DMA = \angle MDC\) как накрест лежащие углы. Следовательно, \(\angle ADM = \angle DMA\), а значит \(\triangle ADM\) - равнобедренный, и \(AD = AM\). 3. Т.к. точка M лежит на стороне BC, то BC = BM + MC. И т.к. BM = 4, нужно найти MC. У нас AD = BC. Значит, MC = AD - 4. 4. Рассмотрим треугольник AMD. \(\angle AMD + \angle ADM + \angle MAD = 180^{\circ}\). Т.к. \(AM\) и \(DM\) - биссектрисы углов, то \(\angle MAD = \frac{1}{2} \angle A\) и \(\angle ADM = \frac{1}{2} \angle D\). В параллелограмме \(\angle A + \angle D = 180^{\circ}\), значит \(\angle MAD + \angle ADM = \frac{1}{2} (\angle A + \angle D) = \frac{1}{2} * 180^{\circ} = 90^{\circ}\). Следовательно, \(\angle AMD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}\), и треугольник AMD - прямоугольный. 5. Т.к. треугольник AMD - прямоугольный и равнобедренный, то \(AM = MD\). Тогда AM = AD = MC + 4, т.е. AM = MC + 4. 6. Так как треугольник DMC равнобедренный, то MC = CD = AB = 4. Следовательно, AD = AM = MC + 4 = 4 + 4 = 8. 7. Находим периметр параллелограмма: \(P = 2 * (AB + AD) = 2 * (4 + 8) = 2 * 12 = 24\). Ответ: 24