Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 896
Задание 896
\[\boxed{\mathbf{896.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\ \]
\[D - произвольная\ точка\ \]
\[окружности\ описанной\ около\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[DE\bot AB;\]
\[DG\bot CB;\]
\[DF\bot AC.\]
\[Доказать:\]
\[E,F,G - лежат\ на\ одной\ \]
\[прямой.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Рассмотрим\ \]
\[четырехугольник\ AEFD:\]
\[\angle AED + \angle AFD = 180{^\circ} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow вокруг\ него\ можно\ описать\ \]
\[окружность \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \ \angle AFE = \angle ADE.\]
\[2)\ Рассмотим\ четырехугольник\]
\[DFCG:\]
\[\angle DFC + \angle DGC = 180{^\circ} \Longrightarrow вокруг\ \]
\[него\ можно\ описать\ \]
\[окружность \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \angle CFG = \angle CDG.\]
\[3)\ ABCD - вписанный:\]
\[\angle BAD = \angle DCB = 180{^\circ}.\]
\[4)\ \angle DCG = 180{^\circ} - \angle DCB\ \]
\[(свойство\ смежных\ углов).\]
\[5)\ \angle EAD = \angle BAD =\]
\[= 180{^\circ} - \angle DCB = \angle DCG.\]
\[6)\ 90{^\circ} - \angle CFG =\]
\[= 90{^\circ} - \angle CDG = \angle DCG =\]
\[= \angle EAD = 90{^\circ} - \angle ADE =\]
\[= 90{^\circ} - \angle AFE.\]
\[Таким\ образом:\ \]
\[\angle CFG = \angle AFE \Longrightarrow \ точки\ E,F\ и\ \]
\[G - лежат\ на\ одной\ прямой.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{896.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Доказательство.\]
\[Пусть\ AA_{1};BB_{1};\ \ CC_{1}\ \]
\[пересекаются\ в\ точке\ \text{T.}\]
\[Тогда\ справедливо\ равенство:\]
\[\frac{\text{BT}}{TB_{1}} = \frac{BA_{1}}{A_{1}C} + \frac{BC_{1}}{C_{1}A}.\]
\[Запишем\ теорему\ Менелая\ \]
\[для\ треугольника\ ABB_{1}\ и\ \]
\[секущей\ CC_{1}:\]
\[\frac{AC_{1}}{C_{1}B} \cdot \frac{\text{BT}}{TB_{1}} \cdot \frac{B_{1}C}{\text{CA}} = 1.\]
\[Отсюда\ следует:\]
\[\frac{C_{1}B}{AC_{1}} = \frac{\text{BT}}{TB_{1}} \cdot \frac{B_{1}C}{\text{CA}}\text{\ \ \ }(1).\]
\[Запишем\ теорему\ Менелая\ \]
\[для\ треугольника\ BB_{1}\text{C\ }и\ \]
\[секущей\ A_{1}A:\]
\[\frac{CA_{1}}{BA_{1}} \cdot \frac{\text{BT}}{TB_{1}} \cdot \frac{B_{1}A}{\text{AC}} = 1.\]
\[Отсюда\ следует:\]
\[\frac{BA_{1}}{A_{1}C} = \frac{\text{BT}}{TB_{1}} \cdot \frac{B_{1}A}{\text{AC}}\text{\ \ \ \ }(2).\]
\[Сложив\ равенства\ (1)\ и\ (2)\ \]
\[получим:\]
\[\frac{C_{1}B}{AC_{1}} + \frac{BA_{1}}{A_{1}C} =\]
\[= \frac{\text{BT}}{TB_{1}}\left( \frac{B_{1}A}{\text{AC}} + \frac{B_{1}C}{\text{CA}} \right) =\]
\[= \frac{\text{BT}}{TB_{1}} \cdot \frac{\text{AC}}{\text{AC}} = \frac{\text{BT}}{TB_{1}}.\]
\[Следовательно:\]
\[\frac{\text{BT}}{TB_{1}} = \frac{C_{1}B}{AC_{1}} + \frac{BA_{1}}{A_{1}C}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
