Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 894
Задание 894
\[\boxed{\mathbf{894.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \]
\[окружность\ (M;r);\]
\[окружность\ (O;R);\]
\[d = OM.\]
\[Доказать:\]
\[d^{2} = R^{2} - 2Rr.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Проведем\ через\ точку\ \text{M\ }\]
\[диаметр\ описанной\ \]
\[окружности\ PQ,а\ также\ \]
\[биссектрисы\ AM\ и\ \text{BM.}\]
\[2)\ По\ теореме\ о\ произведении\ \]
\[отрезков\ пересекающихся\ \]
\[хорд:\]
\[PM \bullet MQ = AM \bullet MA_{1};\]
\[(R + d)(R - d) = AM \bullet MA_{1}.\]
\[3)\ AA_{1}\ и\ BB_{1} - биссектрисы:\]
\[\cup BA_{1} = \cup A_{1}C;\]
\[\cup CB_{1} = \cup B_{1}\text{A.}\]
\[Значит:\ \ \]
\[\angle\text{BM}A_{1} = \frac{\cup BA_{1} + \cup AB_{1}}{2} =\]
\[= \frac{\cup A_{1}C + CB_{1}}{2} = \angle MBA_{1}.\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}MA_{1}B - равнобедренный;\]
\[(R + d)(R - d) = AM \bullet BA_{1}.\]
\[5)\ Проведем\ диаметр\ A_{1}A_{2}\ \]
\[описанной\ окружности:\]
\[K - точка\ касания\ вписанной\ \]
\[окружности\ и\ стороны\ \text{AB.}\]
\[6)\ \mathrm{\Delta}A_{1}A_{2}B - прямоугольный\ \]
\[(так\ как\ опирается\ на\ диаметр);\]
\[\mathrm{\Delta}AMK - прямоугольный:\]
\[\angle A_{1}A_{2}B = \angle MAK = \frac{1}{2} \cup BA_{1} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \ \mathrm{\Delta}A_{1}A_{2}B\sim\mathrm{\Delta}AMK\ \]
\[(по\ двум\ углам).\]
\[Отсюда:\ \]
\[MK\ :BA_{1} = AM\ :A_{1}A_{2}\ \]
\[или\ \]
\[r\ :BA_{1} = AM\ :2R.\]
\[7)\ AM \bullet BA_{1} = 2Rr\]
\[(R + d)(R - d) = 2Rr\]
\[d^{2} = R^{2} - 2Rr.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{894.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Доказательство.\]
\[Пусть\ на\ сторонах\ AB;BC;AC\ \]
\[треугольника\ \text{ABC\ }взяты\ \]
\[соответственно\ точки\ C_{1};A_{1}B_{1},\ \]
\[для\ которых\ выполняется\ \]
\[равенство:\]
\[\frac{A_{1}C}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1(*).\]
\[Предположим,\ что\ прямые\ \]
\[AA_{1}\ и\ BB_{1}\ пересекаются\ \]
\[в\ точке\ \text{O.}\]
\[Проведем\ прямую\ CO;\]
\[C^{'} - точка\ ее\ пересечения\ с\ \text{AB.}\]
\[Докажем,\ что\ C^{'}\ совпадает\ с\ C_{1}.\]
\[Для\ точек\ A_{1};B_{1};C^{'}\]
\[выполняется\ равенство:\]
\[\frac{AC^{'}}{C^{'}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1.\]
\[Учитывая\ равенство\ (*),\ \]
\[получаем:\]
\[\frac{AC^{'}}{C^{'}B} = \frac{A_{1}C}{C_{1}B}.\]
\[Следовательно,\ точки\ C^{'}\ и\ C_{1}\ \]
\[совпадают.\]
\[Значит,\ прямые\ AA_{1};BB_{1};\]
\[CC_{1} - пересекаются\ в\ одной\ \]
\[точке.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
