Решебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 893

 

\[\boxed{\mathbf{893.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[1)\ Отобразим\ условие\ задачи\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - четырехугольник.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[AC \bullet BD = AB \bullet CD + BC \bullet AD.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ На\ диагонали\ \text{AC\ }отметим\ \]

\[точку\ E:\]

\[\angle ABE = \angle DBC.\]

\[2)\ \angle ABE = \angle DBC\ и\ \]

\[\angle BAE = \angle BCD = \frac{1}{2} \cup BC:\]

\[\mathrm{\Delta}ABE\sim\mathrm{\Delta}DBC\ (по\ двум\ углам).\]

\[Отсюда:\]

\[\frac{\text{AB}}{\text{BD}} = \frac{\text{AE}}{\text{CD}}\]

\[AB \bullet CD = AE \bullet BD.\]

\[3)\ \angle BCE = \angle BDA = \frac{1}{2} \cup AB\ и\ \]

\[\angle EBC = \angle ABD =\]

\[= \angle ABE + \angle EBD:\]

\[\mathrm{\Delta}BCE\sim\mathrm{\Delta}BDA\ (по\ двум\ углам).\]

\[Отсюда:\]

\[\frac{\text{BC}}{\text{BD}} = \frac{\text{CE}}{\text{AD}}\]

\[BC \bullet AD = CE \bullet BD.\]

\[4)\ Сумма\ двух\ равенств:\]

\[AB \bullet CD + BC \bullet AD =\]

\[= AE \bullet BD + CE \bullet BD\]

\[AB \bullet CD + BC \bullet AD =\]

\[= (AE + CE) \bullet BD\]

\[AB \bullet CD + BC \bullet AD = AC \bullet BD.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{893.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Доказательство.\]

\[Пусть\ прямые\ AA_{1};BB_{1};\ CC_{1}\ \]

\[пересекаются\ в\ одной\ точке\ \text{O.}\]

\[Применим\ теорему\ Менелая\ \]

\[к\ ⊿BCC_{1}\ и\ прямой\ AA_{1}:\]

\[\frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{\text{CO}}{OC_{1}} \cdot \frac{C_{1}A}{\text{AB}} = 1.\]

\[Аанлогично\ применяя\ теорему\ \]

\[Менелая\ к\ ⊿AC_{1}\text{C\ }и\ прямой\ \]

\[BB_{1}:\]

\[\frac{C_{1}O}{\text{OC}} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} \cdot \frac{\text{AB}}{BC_{1}} = 1.\]

\[Перемножая\ два\ равенства,\ \]

\[получим:\]

\[\frac{A_{1}C}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]