Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 858
Задание 858
\[\boxed{\mathbf{858.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - выпуклый\ \]
\[четырехугольник;\]
\[AD \nparallel BC;AD > BC;\]
\[AB \nparallel CD;AB < CD;\]
\[M \in AB;AM = MB;\]
\[N \in CD;N = ND.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[MN < \frac{AD + BC}{2}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Относительно\ точки\ N\ \]
\[(как\ центра\ симметрии)\ \]
\[отобразим\ точку\ \text{A\ }и\ получим\ \]
\[A_{1}.\]
\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}ABA_{1}:\]
\[AM = MB;\ \ \]
\[AN = NA_{1};\ \ \]
\[тогда\ MN - средняя\ линия\ \]
\[этого\ треугольника;\]
\[A_{1}B = 2MN.\]
\[3)\ В\ треугольниках\ \text{ADN\ }и\ \]
\[A_{1}CN:\]
\[AN = NA_{1};\ \ \]
\[DN = NC;\]
\[\angle AND = \angle A_{1}\text{NC\ }\]
\[(вертикальные\ углы).\]
\[По\ первому\ признаку\ \]
\[равенства\ треугольников:\ \]
\[\ \mathrm{\Delta}ADN = \mathrm{\Delta}A_{1}CN \Longrightarrow A_{1}C = AD.\]
\[4)\ Из\ треугольника\ \text{CB}A_{1},\ по\ \]
\[неравенству\ треугольника:\ \]
\[A_{1}B( = 2MN) < BC + A_{1}C( = AD)\]
\[2MN < AD + BC\ \]
\[MN < \frac{AD + BC}{2}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
\[\boxed{\mathbf{858.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \ \]
\[BD - высота;\]
\[AK\bot AB;\ AK = DC;\]
\[CM\bot BC;CM = AD.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[BK = BM.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Две\ пары\ точек\ подходят\ \]
\[по\ условию\ задачи:\]
\[K_{1};K_{2}\ и\ \ M_{1};M_{2}.\]
\[В\ треугольнике\ K_{1}BK_{2}:\]
\[AB - это\ и\ медиана,\ и\ высота\]
\[\ (по\ построению).\]
\[Отсюда:\]
\[BK_{1} = BK_{2}.\]
\[2)\ Аналогично\ в\ треугольнике\]
\[\ M_{1}BM_{2}:\ \ \ \]
\[BM_{1} = BM_{2}.\]
\[3)\ Рассмотрим\ треугольники\ \]
\[\text{AB}K_{1}\ и\ \ \text{BC}M_{1}:\]
\[BK_{1}^{2} = AK_{1}^{2} + AB^{2} =\]
\[= DC^{2} + AD^{2} + BD^{2};\]
\[BM_{1}^{2} = CM_{1}^{2} + BC^{2} =\]
\[= AD^{2} + DC^{2} + BD^{2}.\]
\[Получаем:\]
\[BK_{1} = BM_{1};\ \ \]
\[BK_{1} = BM_{1} = BK_{2} = BM_{2}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
