Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 835
Задание 835
\[\boxed{\mathbf{835.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[\text{AD} \parallel BC;\ \ AD > BC;\]
\[E;F \in AD;\]
\[\text{BE} \parallel CF;\ \ \]
\[O = AC \cap BD;\]
\[G = AC \cap BE;\ \]
\[H = BD \cap CF.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[S_{\text{EGOHF}} = S_{\text{ABG}} + S_{\text{BCO}} + S_{\text{DCH}}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ S_{\text{ABC}} = S_{\text{BCD}} = \frac{1}{2}BC \bullet h.\]
\[2)\ S_{\text{ABG}} + S_{\text{BGO}} + S_{\text{BOC}} =\]
\[= S_{\text{DCH}} + S_{\text{COH}} + S_{\text{BOC}}.\]
\[3)\ S_{\text{EBCF}} = BC \bullet h = 2S_{\text{ABC}} =\]
\[= S_{\text{ABC}} + S_{\text{BCD}}.\]
\[4)\ S_{\text{EGOHF}} + S_{\text{BGO}} + S_{\text{BOC}} + S_{\text{COH}} =\]
\[5)\ S_{\text{EGOHF}} = S_{\text{ABG}} + S_{\text{BCO}} + S_{\text{DCH}}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
\[\boxed{\mathbf{835.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - параллелограмм;\]
\[\text{ADD}_{1}A;ABB_{2}A_{2};\]
\[\text{BC}C_{1}B_{1};\ \ CDD_{2}C_{2} - квадраты;\]
\[E = AB_{2} \cap BA_{2};\]
\[F = BC_{1} \cap CB_{1};\]
\[G = CD_{2} \cap DC_{2};\]
\[H = AD_{1} \cap DA_{1}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[EFGH - квадрат.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ ABCD - параллелограмм \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow AB = CD;\ \ AD = BC:\]
\[AE = EB = CG = GD;\]
\[BF = FC = AH = HD.\]
\[2)\ Допустим,\ что\ \angle A = \angle C = a;\ \ \]
\[\angle B = \angle D = 180{^\circ} - a.\ \ \]
\[Тогда:\]
\[\angle EBF = 360 - (2 \bullet 45 + \angle B) =\]
\[= 90{^\circ} + a;\]
\[\angle FCG = a + 2 \bullet 45 = 90{^\circ} + a;\]
\[\angle GDH = 360 - (2 \bullet 45 + \angle B) =\]
\[= 90{^\circ} + a;\]
\[\angle HAE = a + 2 \bullet 45 = 90{^\circ} + a.\]
\[3)\ Получаем:\]
\[AE = EB = CG = GD;\]
\[BF = FC = AH = HD;\]
\[\angle HAE = \angle EBF = \angle ECG =\]
\[= \angle GDH = 90{^\circ} + a.\]
\[По\ первому\ признаку\ \]
\[равенства\ треугольников:\]
\[\mathrm{\Delta}HAE = \mathrm{\Delta}FBE = \mathrm{\Delta}ECG =\]
\[= \mathrm{\Delta}HDG.\]
\[Отсюда:\]
\[HE = EF = FG = GH;\]
\[EFGH - ромб.\]
\[4)\ У\ ромба\ \text{EFGH\ }найдем\]
\[\ угол\ \text{E.}\]
\[\angle AEB = 90{^\circ};\ \mathrm{\Delta}HAE = \mathrm{\Delta}FBE:\]
\[\text{\ \ }\angle AEH = \ \angle BEF.\]
\[Следовательно:\]
\[\ \angle E = \ \angle AEB + \ \angle BEF - \ \angle AEH =\]
\[= 90{^\circ}.\]
\[5)\ Остальные\ углы\ ромба\ \]
\[ромба:\]
\[\ \angle G = \ \angle E = 90{^\circ};\]
\[\ \angle F = \ \angle H = 180{^\circ} - 90{^\circ} = 90{^\circ}.\]
\[6)\ Ромб\ со\ всеми\ прямыми\ \]
\[углами - это\ квадрат.\]
\[\ EFGH - квадрат.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
