Решебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 670

 

\[\boxed{\mathbf{670.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[окружность\ (O;r);\]

\[AB - касательная;\]

\[AQ - секущая;\]

\[P,Q \in AQ\ и\]

\[P;\ Q \in окружности.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[AB^{2} = AP \bullet AQ.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ \mathrm{\Delta}ABP\sim\mathrm{\Delta}ABQ\ \]

\[(по\ двум\ углам):\]

\[\angle A - общий;\]

\[\angle ABP = \angle AQB =\]

\[= \frac{1}{2} \cup BP\ (задача\ 664).\]

\[Отсюда:\]

\[\frac{\text{AB}}{\text{AQ}} = \frac{\text{AP}}{\text{AB}} = \frac{\text{BP}}{\text{BQ}} = k.\]

\[2)\frac{\text{AB}}{\text{AQ}} = \frac{\text{AP}}{\text{AB}}\]

\[AB^{2} = AP \bullet AQ\ \]

\[(по\ свойству\ пропорции).\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{670.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AB = a;\]

\[CH = h;\]

\[CH\bot AB;\]

\[MNFE - квадрат.\]

\[\mathbf{Найти:}\]

\[MN - ?\]

\[\mathbf{Решение.}\]

\[1)\ NF \parallel AB\ и\ CA - секущая:\]

\[\angle CNF = \angle CAB\ \]

\[(как\ соответственные).\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}ABC\sim\mathrm{\Delta}NCF\ \]

\[(по\ двум\ углам):\]

\[\angle C - общий;\ \]

\[\angle CNF = \angle CAB.\]

\[Отсюда:\]

\[\frac{\text{AB}}{\text{NF}} = \frac{\text{CH}}{\text{CQ}}.\]

\[3)\ MNFE - квадрат:\]

\[MN = NF = FE = ME = x.\]

\[4)\ Получаем:\ \]

\[CQ = h - x.\]

\[5)\ \frac{a}{x} = \frac{h}{h - x}\]

\[ah - ax = hx\]

\[ah = (a + h)x\]

\[x = \frac{\text{ah}}{a + h}\]

\[MN = \frac{\text{ah}}{a + h}.\]

\[\mathbf{Ответ:}MN = \frac{\text{ah}}{a + h}\mathbf{.}\]