Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 409
Задание 409
\[\boxed{\mathbf{409.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - ромб;\]
\[\angle A = 90{^\circ}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[ABCD - квадрат.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ ABCD - ромб;\]
\[AB = BC = CD = AD;\]
\[\angle A = \angle C;\ \ \ \angle B = \angle D.\]
\[2)\ BC \parallel AD\ и\ AB - секущая:\]
\[\angle A + \angle B =\]
\[= 180{^\circ}\ (как\ односторонние);\]
\[\angle B = 180{^\circ} - 90{^\circ} = 90{^\circ}.\]
\[3)\ \angle A = \angle C = 90{^\circ};\]
\[\angle B = \angle D = 90{^\circ}.\]
\[ABCD - квадрат\ \]
\[(по\ определению\ квадрата).\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
\[\boxed{\mathbf{409.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[две\ оси\ симметрии.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[имеет\ три\ оси\ симметрии.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[\textbf{а)}\ 1)\ Допустим,\ что\ \text{MN\ }\]
\[пересекает\ стороны\ \mathrm{\Delta}\text{ABC},\ \]
\[но\ не\ проходит\ через\ вершину.\]
\[Тогда\ треугольник\ \]
\[преображается\ в\ невыпуклый\ \]
\[многоугольник.\]
\[2)\ Допустим,\ что\ \text{MN\ }проходит\ \]
\[через\ 2\ вершины\ и\ содержит\ \]
\[одну\ из\ сторон.\ \]
\[Тогда\ \mathrm{\Delta}\ не\ отображается\ сам\ \]
\[в\ себя.\]
\[3)\ Следовательно,\ MN - ось\ \]
\[симметрии,\ должна\ проходить\ \]
\[через\ \]
\[\ вершину\ и\ пересекать\ \]
\[противоположную\ сторону\ \]
\[треугольника.\]
\[4)\ Допустим,\ что\ \text{MN\ }проходит\ \]
\[через\ вершину\ B\ и\ пересекает\ \ \]
\[сторону\ \text{AC}:\]
\[B \rightarrow B_{1} = B;\ \ A \rightarrow A_{1} = A;\ \ \ \]
\[C \rightarrow C_{1} = C.\]
\[5)\ По\ определению\ осевой\ \]
\[симметрии:\]
\[MN - серединный\ \]
\[перпендикуляр\ к\ AC;\]
\[отметим\ точку\ пересечения\ \]
\[(O)\ и\ получим:\]
\[BO\bot AC;AO = OC.\ \]
\[Следовательно:\]
\[BO - высота\ и\ медиана;\ \]
\[\ \mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный,\ \]
\[с\ основанием\ \text{AC.}\]
\[\textbf{б)}\ Мы\ доказали\ в\ а),\ что\ ось\ \]
\[симметрии\ треугольника\ \]
\[проходит\ \ через\ одну\ из\ его\ \]
\[вершин,\ стороны\ в\ этом\ случае\ \]
\[равны,\ а\ треугольник -\]
\[равнобедренный.\]
\[1)\ Допустим,\ что\ \mathrm{\Delta}\text{ABC\ }имеет\ \]
\[не\ одну,\ а\ две\ оси\ симметрии,\]
\[\ назовем\ их\ \text{AD\ }и\ BE,\ которые\ \]
\[проходят\ через\ вершины\ A\ и\ \text{B.}\]
\[Получаем:\]
\[AD - серединный\ \]
\[перпендикуляр;AB = AC;\]
\[BE - серединный\ \]
\[перпендикуляр;AB = BC.\]
\[Следовательно:\]
\[AB = BC = AC;\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - равносторонний.\]
\[2)\ Так\ как\ каждая\ ось\ \]
\[симметрии\ проходит\ через\ \]
\[вершину,\ то\ равносторонний\ \]
\[треугольник\ имеет\ три\ оси\ \]
\[симметрии.\ \]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
