Решебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 184

 

\[\boxed{\mathbf{184.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Дано:\ \ \]

\[\mathrm{\Delta}\text{ABC}.\]

\[Построить:\]

\[D \in \text{BC};\ чтобы\ \text{AD} = \text{DC}.\]

\[\mathbf{Построение.}\]

\[1)\ Начертим\ две\ окружности\ с\ \]

\[центрами\ в\ точках\ \text{A\ }и\ C;\ \]

\[r = \frac{1}{2}\text{AC.}\]

\[2)\ Точками\ пересечения\ будут\]

\[\ \text{E\ }и\ \text{N.}\]

\[3)\ Прямые\ \text{EN\ }и\ \text{BC\ }\]

\[пересекутся\ в\ точке\ \text{D\ }\]

\[(искомая\ точка).\]

\[Доказательство.\]

\[Треугольник\ ADC -\]

\[равнобедренный,\ так\ как:\]

\[DO - серединный\ \]

\[перпендикуляр.\]

\[Следовательно:\]

\[AD = AC.\]

\[4)\ Задача\ не\ имеет\ решения,\ \]

\[если\ \text{EN\ }и\ \text{BC\ }не\ пересекаются\]

\[\boxed{\mathbf{184.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\(Рисунок\ по\ условию\ задачи:\)

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный;\]

\[AB = AC;\ \ P \in AB;\]

\[Q \in AC;X \in BC;\]

\[BX = XC;\ \]

\[\angle PXB = \angle QXC.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[BQ = CP.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ \mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный\ \]

\[(по\ условию):\]

\[\angle C = \angle B\ (CB - основание).\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}QXC = \mathrm{\Delta}PXB - по\ стороне\ \]

\[и\ двум\ прилегающим\ углам:\]

\[CX = XB\ (по\ условию);\]

\[\angle B = \angle C\ (см.\ пункт\ 1);\]

\[\angle PXB = \angle QXC\ (по\ условию).\]

\[Значит:\ \]

\[CQ = BP;\ \ QX = XP.\]

\[3)\ \mathrm{\Delta}CQB = \mathrm{\Delta}BPC - по\ двум\ \]

\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]

\[CQ = BP\ (см.\ пункт\ 2);\]

\[CB - общая\ сторона;\]

\[\angle C = \angle B\ (см.\ пункт\ 1).\]

\[Следовательно:\ \ BQ = CP.\ \]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]