Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 167
Задание 167
\[\boxed{\mathbf{167.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:94.\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - равносторонний;\]
\[AB = BC = CA;\]
\[AD = CE = BF.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\mathrm{\Delta}DBF - равносторонний.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}ABC - равносторонний:\ \]
\[\angle A = \angle B = \angle C.\]
\[2)\ Равенства\ для\ смежных\ \]
\[углов:\]
\[\angle 1 + \angle A = 180{^\circ};\]
\[\angle 2 + \angle B = 180{^\circ};\]
\[\angle 3 + \angle C = 180{^\circ}.\]
\[Значит:\ \]
\[\angle 1 = \angle 2 = \angle 3.\]
\[3)\ Равенства\ для\ сторон:\]
\[DB = DA + AB;\]
\[FC = FB + BC;\]
\[AC = CE + AC.\]
\[Значит:\ \]
\[DB = FC = AE.\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}DBF = \mathrm{\Delta}FEC = \mathrm{\Delta}DEA - по\ \]
\[двум\ сторонам\ и\ углу\ между\ \]
\[ними:\]
\[AD = CE = BF\ (по\ условию);\]
\[DB = FC = AE\ (см.\ пункт\ 3);\]
\[\angle 1 = \angle 2 = \angle 3\ (см.\ пункт\ 2).\]
\[Получаем:\]
\[FD = FE = DE \rightarrow \ \mathrm{\Delta}DFE -\]
\[равносторонний.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{167.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ADE - равнобедренный;\]
\[DE - основание.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\textbf{а)}\ если\ BD = CE;\]
\[то\ \angle CAD = \angle BAE;AB = AC;\]
\[\textbf{б)}\ если\ \angle CAD = \angle BAE,\]
\[то\ BD = CE;AB = AE.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[\textbf{а)}\ 1)\ \mathrm{\Delta}DAB = \mathrm{\Delta}CAE - \ по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[AD = AE\ \]
\[(стороны\ равнобедренного\ \mathrm{\Delta});\]
\[\angle D = \angle E\ \]
\[(углы\ равнобедренного\ \mathrm{\Delta});\]
\[DB = CE\ (по\ условию).\]
\[Значит:\ \]
\[AC = AB.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}DAC = \mathrm{\Delta}BAE - по\ трем\ \]
\[сторонам:\]
\[AD = AE\ (по\ условию);\]
\[AB = AC\ (см.\ пункт\ 1);\]
\[DC = BE\ \]
\[(DB = CE;BC - общая).\]
\[Следовательно:\ \]
\[\angle CAD = \angle BAE.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\textbf{б)}\ \ 1)\ \mathrm{\Delta}DAC = \mathrm{\Delta}ABE - по\ \]
\[стороне\ и\ двум\ прилежащим\ \]
\[к\ ней\ углам:\]
\[AD = DE\ (по\ условию);\]
\[\angle D = \angle E\]
\[\ (углы\ равнобреденного\ \mathrm{\Delta});\]
\[\ \angle CAD = \angle EAB\ (по\ условию).\]
\[Получаем:\ \]
\[DC = BE;\ \ AC = AB.\]
\[2)\ DC = DB + BC;\ \ \]
\[BE = CE + BC;\]
\[DC = BE.\]
\[Получаем:\]
\[DB = CE\text{.\ \ }\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
