Решебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 1427

\[\boxed{\mathbf{1427.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Решение.\]

\[Так\ как\ ⊿ABC -\]

\[равносторонний:\]

\[\angle A = \angle B = \angle C = 60{^\circ}.\]

\[Стороны\ вписанного\ \]

\[треугольника\ \]

\[перпендикулярны\ сторонам\]

\[исходного:\]

\[ON\bot AC;\]

\[NP\bot BC;\]

\[NO\bot AB.\]

\[Образуются\ прямоугольные\ \]

\[треугольники:\]

\[⊿ANO;\ \ ⊿OBP;\ \ ⊿NPC.\]

\[Так\ как\ углы\ исходного\ \]

\[треугольника = 60{^\circ}:\]

\[\angle AON = 90{^\circ} - 60{^\circ} = 30{^\circ};\]

\[\angle CNP = 90{^\circ} - 60{^\circ} = 30{^\circ};\]

\[\angle OPB = 90{^\circ} - 60{^\circ} = 30{^\circ}.\]

\[Катет,\ противолежащий\ \]

\[углу\ 30{^\circ},\ равен\ половине\ \]

\[гипотенузы:\]

\[AN = \frac{\text{AO}}{2};\]

\[PC = \frac{\text{NC}}{2};\]

\[OB = \frac{\text{BP}}{2}.\]

\[Все\ эти\ прямоугольные\ \]

\[треугольники\ равны\ по\ двум\ \]

\[углам\ и\ катету.\]

\[Отсюда:\]

\[OP = NO = NP - вписанный\ \]

\[треугольник\ равносторонний.\]

\[Так\ как\ AN = OB:\]

\[OB = \frac{\text{AO}}{2};\]

\[AO = 2x;\ \ OB = x.\]

\[Вершины\ вписанного\ \]

\[треугольника\ делят\ сторону\ \]

\[исходного\ в\ отношении\ 2\ :1.\]