Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 9 класс Атанасян ФГОС Задание 1371
Задание 1371
\[\boxed{\mathbf{1371.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Дано:\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \]
\[\overrightarrow{\text{AF}} = \frac{\overrightarrow{\text{AB}}}{\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|} + \frac{\overrightarrow{\text{AC}}}{\left| \overrightarrow{\text{AC}} \right|};\]
\[\overrightarrow{AF^{'}} = \frac{\overrightarrow{\text{AB}}}{\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|} - \frac{\overrightarrow{\text{AC}}}{\left| \overrightarrow{\text{AC}} \right|}.\]
\[Доказать:\ \]
\[\overrightarrow{\text{AF}}\ и\ \overrightarrow{AF^{'}}\ лежат\ на\ \]
\[биссектрисах\ внутреннего\ и\ \]
\[внешнего\ углов\ \]
\[соответственно.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ \overrightarrow{\text{AD}} = \frac{\overrightarrow{\text{AB}}}{\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right|};\ \ \overrightarrow{\text{AE}} = \frac{\overrightarrow{\text{AC}}}{\left| \overrightarrow{\text{AC}} \right|};\ \]
\[\ \overrightarrow{AE^{'}} = - \frac{\overrightarrow{\text{AC}}}{\left| \overrightarrow{\text{AC}} \right|} - вектора\]
\[являются\ единичными,\ \]
\[значит,\ их\ концы\ лежат\ \]
\[на\ окружности\ с\ центром\ \]
\[на\ вершине\ \text{A.}\]
\[3)\ Длина\ всех\ сторон\ равна\ 1 \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow AEFD - ромб:\]
\[\overrightarrow{\text{AF}} - диагональ\ \]
\[и\ биссектриса\ \angle\text{A.}\]
\[4)\ \overrightarrow{\text{AD}} - \overrightarrow{\text{AE}} = \overrightarrow{\text{AD}} + \overrightarrow{AE^{'}} =\]
\[5)\ Длина\ всех\ сторон\ равна\ 1 \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \ AE^{'}F^{'}D - ромб:\]
\[\overrightarrow{AF^{'}} - диагональ\ \]
\[и\ биссектриса\ \angle E^{'}\text{AD\ }\]
\[(внешнего\ при\ вершине\ \angle A).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
