Решебник по геометрии 9 класс Мерзляк Задание 283

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[ABCD - трапеция;\]

\[\angle A + \angle D = 90{^\circ};\]

\[AE = DE;\]

\[BF = CF.\]

\[Доказать:\]

\[FE = \frac{AD - BC}{2}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Дополнительное\ построение:\]

\[FM \parallel AB;\ \ \ M \in AD;\]

\[FN \parallel CD;\ \ N \in AD.\]

\[2)\ ABFM - параллелограмм:\]

\[AM = BF;\ \ \ \]

\[\angle FMN = \angle A.\]

\[3)\ CFDN - параллелограмм:\]

\[DN = CF = BF = AM;\]

\[\angle FNM = \angle D.\]

\[4)\ В\ \mathrm{\Delta}MFN:\]

\[\angle F = 180{^\circ} - \angle M - \angle N = 90{^\circ};\]

\[ME = AE - AM =\]

\[= DE - DN = NE.\]

\[FE - медиана:\]

\[FE = \frac{1}{2}MN = ME;\]

\[ME = AE - BF = \frac{AD - BC}{2}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]