Решебник по геометрии 9 класс Мерзляк Задание 213

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[ABC\ldots - правильный\]

\[двенадцатиугольник;\]

\[O - центр\ опис.\ окружности;\]

\[OA = OB = R.\]

\[Доказать:\]

\[AB = R\sqrt{2 - \sqrt{3}}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ \angle AOB = \frac{360{^\circ}}{12} = 30{^\circ}.\]

\[2)\ В\ \mathrm{\Delta}AOB:\]

\[AB^{2} = AO^{2} + OB^{2} - 2AO \bullet OB\cos{\angle O} =\]

\[= R^{2} + R^{2} - 2R \bullet R \bullet \cos{30{^\circ}} =\]

\[= 2R^{2} - \sqrt{3}R^{2};\ \ \ \]

\[AB = R\sqrt{2 - \sqrt{3}}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]