Решебник по геометрии 9 класс Мерзляк Задание 166

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[BM - высота;\]

\[CK - высота;\]

\[\angle A = 45{^\circ}.\]

\[Найти:\]

\[S_{\text{AMK}}\ :S_{\text{ABC}}.\]

\[Решение.\]

\[1)\ В\ \mathrm{\Delta}ABM:\]

\[\angle AMB = 90{^\circ};\ \ \]

\[\cos{\angle A} = \frac{\text{AM}}{\text{AB}}.\]

\[2)\ В\ \mathrm{\Delta}ACK:\]

\[\angle AKC = 90{^\circ};\ \ \ \]

\[\cos{\angle A} = \frac{\text{AK}}{\text{AC}}.\]

\[3)\ В\ \mathrm{\Delta}ABC:\]

\[S_{\text{ABC}} = \frac{1}{2}AC \bullet AB \bullet \sin{\angle A}.\]

\[4)\ В\ \mathrm{\Delta}AMK:\]

\[S_{\text{AMK}} = \frac{1}{2}AK \bullet AM \bullet \sin{\angle A};\]

\[\frac{S_{\text{AMK}}}{S_{\text{ABC}}} = \frac{AK \bullet AM}{AC \bullet AB} = \cos^{2}{\angle A};\]

\[\frac{S_{\text{AMK}}}{S_{\text{ABC}}} = \cos^{2}{45{^\circ}} = \frac{1}{2}.\]

\(Ответ:\ \ 1\ :2.\)