Решебник по геометрии 9 класс Мерзляк Задание 161

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[BM - высота;\]

\[BM = h;\]

\[\angle A = \alpha;\]

\[\angle ABC = \beta.\]

\[Найти:\]

\[S_{\text{ABC}}.\]

\[Решение.\]

\[1)\ В\ \mathrm{\Delta}ABM:\]

\[\angle AMB = 90{^\circ};\ \ \ \]

\[AB = \frac{\text{BM}}{\sin{\angle A}} = \frac{h}{\sin\alpha}.\]

\[2)\ В\ \mathrm{\Delta}ABC:\]

\[\angle C = 180{^\circ} - \angle A - \angle B;\]

\[\sin{\angle C} = \sin(\angle A + \angle B) = \sin(\alpha + \beta).\]

\[\frac{\text{AB}}{\sin{\angle C}} = \frac{\text{AC}}{\sin{\angle B}}\]

\[AC = \frac{AB \bullet \sin{\angle B}}{\sin{\angle C}} =\]

\[= \frac{h\sin\beta}{\sin\alpha\sin(\alpha + \beta)}.\]

\[S = \frac{1}{2}AC \bullet BM = \frac{h^{2}\sin\beta}{2\sin\alpha\sin(\alpha + \beta)}.\]

\[Ответ:\ \ \frac{h^{2}\sin\beta}{2\sin\alpha\sin(\alpha + \beta)}.\]