Решебник по геометрии 9 класс Мерзляк Задание 131

\[Схематический\ рисунок.\]

\[Дано:\]

\[\angle ADB = \alpha.\]

\[Доказать:\]

\[S_{\text{ABC}} = \frac{AC \bullet BD\sin\alpha}{2}.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Дополнительное\ построение:\]

\[BH\bot AC;\ \ \ \]

\[H \in AC.\]

\[2)\ В\ \mathrm{\Delta}BHD:\]

\[\angle BDH = 180{^\circ} - \angle ADB;\]

\[\sin{\angle BDH} = \sin{\angle ADB} = \sin\alpha.\]

\[\sin\alpha = \frac{\text{BH}}{\text{BD}}\text{\ \ \ }\]

\[BH = BD \bullet \sin\alpha.\]

\[3)\ В\ \mathrm{\Delta}ABC:\]

\[S_{\text{ABC}} = \frac{1}{2}AC \bullet BH = \frac{AC \bullet BD\sin\alpha}{2}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]