Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 910
Задание 910
\[\boxed{\mathbf{910.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\mathbf{\ задачи:}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[A_{1},B_{1},C_{1} - середины;\]
\[H - точка\ пересечения\ высот;\]
\[G - точка\ пересечения\ медиан.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[G \in OH;\]
\[\frac{\text{HG}}{\text{GO}} = 2.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ По\ правилу\ треугольника:\]
\[\ \overrightarrow{A_{1}O} + \overrightarrow{\text{OG}} = \overrightarrow{A_{1}G}\ и\]
\[\ \overrightarrow{\text{AH}} + \overrightarrow{\text{HG}} = \overrightarrow{\text{AG}}.\]
\[2)\ По\ теореме\ пересечения\ \]
\[медиан\ треугольника:\]
\[\overrightarrow{\text{AG}} = - 2\overrightarrow{A_{1}G} \Longrightarrow \overrightarrow{\text{AH}} + \overrightarrow{\text{HG}} =\]
\[= - 2\overrightarrow{A_{1}O} - 2\overrightarrow{\text{OG}}.\]
\[3)\ Векторы\ \overrightarrow{\text{AH}}\ и\ \overrightarrow{A_{1}O}\ \]
\[коллинеарны:\]
\[существует\ такое\ число\ x,\ \]
\[что\ \overrightarrow{A_{1}O} = x\overrightarrow{\text{AH}}.\]
\[4)\ Отсюда:\ \]
\[\overrightarrow{\text{HG}} + 2\overrightarrow{\text{OG}} = - (2x + 1)\overrightarrow{\text{AH}}.\]
\[5)\ Аналогично:\ \ \]
\[\overrightarrow{\text{HG}} + 2\overrightarrow{\text{OG}} = - (2m + 1)\overrightarrow{\text{BH}};\ \]
\[где\ m - определяется\ из\ \]
\[равенства\ \overrightarrow{B_{1}O} = m\overrightarrow{\text{BH}}.\]
\[6)\ Векторы\ \overrightarrow{\text{AH}}\ и\ \overrightarrow{\text{BH}}\ не\ \]
\[коллинеарны:\]
\[\overrightarrow{\text{HG}} + 2\overrightarrow{\text{OG}} = \overrightarrow{0} \Longrightarrow \overrightarrow{\text{HG}} = - 2\overrightarrow{\text{OG}}.\]
\[7)\ Значит:\ \]
\[G \in OH\ и\frac{\text{HG}}{\text{GO}} = 2.\ \]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{910.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[BD - биссекриса.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[BD^{2} = AB \bullet BC - AD \bullet DC.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Построим\ описанную\ \]
\[вокруг\ \mathrm{\Delta}ABC\ \]
\[окружность\ (O;R).\]
\[2)\ Продолжим\ луч\ \text{BD}\]
\[\ и\ найдем\ точку\ пересечения\ \]
\[K = (O;R) \cap BD.\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}ABK\sim\mathrm{\Delta}BDC - по\ двум\ \]
\[углам:\]
\[\angle ABK =\]
\[= \angle DBC\ (BD - биссектриса);\ \]
\[\angle AKB = \angle ABC = \frac{1}{2} \cup AB.\]
\[Отсюда:\]
\[\frac{\text{AB}}{\text{BD}} = \frac{\text{BK}}{\text{BC}}.\]
\[4)\ BD \bullet BK = AB \bullet BC\]
\[BD \bullet (BD + DK) = AB \bullet BC\]
\[BD^{2} = AB \bullet BC - BD \bullet DK.\]
\[5)\ По\ свойству\ \]
\[пересекающихся\ хорд:\]
\[BD \bullet DK = AD \bullet DC\]
\[BD^{2} = AB \bullet BC - AD \bullet DC.\ \]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
