Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 909
Задание 909
\[\boxed{\mathbf{909.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\ \]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[AA_{1},BB_{1},CC_{1} - биссектрисы\ \]
\[внешних\ углов;\]
\[AA_{1} \cap BC = A_{1};\]
\[BB_{1} \cap AC = B_{1};\]
\[CC_{1} \cap AB = C_{1}.\]
\[Доказать:\]
\[A_{1},B_{1},C_{1} - лежат\ на\ одной\ \]
\[прямой.\]
\[Доказательство.\]
\[1)\ Пусть\ BC = a;AC = b;\]
\[AB = c.\]
\[2)\ Единичные\ векторы\ на\ \]
\[сторонах\ \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}:\ \]
\[\overrightarrow{\text{CB}} = a\overrightarrow{i};\overrightarrow{\text{CA}} = b\overrightarrow{j};\ \overrightarrow{\text{BA}} = c\overrightarrow{k}.\]
\[3)\ По\ теореме\ о\ биссектрисе\ \]
\[внешнего\ угла\ (задача\ 619):\]
\[\frac{CA_{1}}{A_{1}B} = \frac{\text{AC}}{\text{AB}}\]
\[\frac{CA_{1}}{CA_{1} - BC} = \frac{\text{AC}}{\text{AB}}\]
\[1 - \frac{\text{BC}}{CA_{1}} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}\]
\[\frac{a}{CA_{1}} = 1 - \frac{c}{b} = \frac{b - c}{b}\]
\[CA_{1} = \frac{\text{ab}}{b - c}.\]
\[Отсюда:\ \]
\[\overrightarrow{CA_{1}} =\]
\[= \frac{\text{ab}}{b - c}\overrightarrow{i}\ \left( так\ как\ \overrightarrow{CA_{1}} \uparrow \uparrow \overrightarrow{\text{CB}} \right).\]
\[4)\ Аналогично:\ \]
\[CB_{1} = \frac{\text{ab}}{a - c} \Longrightarrow \overrightarrow{CB_{1}} =\]
\[= \frac{\text{ab}}{a - c}\overrightarrow{j}\ \left( так\ как\ \overrightarrow{CB_{1}} \uparrow \uparrow \overrightarrow{\text{CA}} \right).\]
\[BC_{1} = \frac{\text{ac}}{a - b} \Longrightarrow \ \overrightarrow{BC_{1}} =\]
\[= \frac{\text{ac}}{a - b}\overrightarrow{k}\ \left( так\ как\ \overrightarrow{BC_{1}} \uparrow \uparrow \overrightarrow{\text{BA}} \right);\]
\[\overrightarrow{CC_{1}} = \overrightarrow{BC_{1}} - \overrightarrow{\text{BC}} = \frac{\text{ac}}{a - b}\overrightarrow{k} + a\overrightarrow{i};\]
\[\overrightarrow{\text{CB}} + \overrightarrow{\text{BA}} + \overrightarrow{\text{AC}} = \overrightarrow{0} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \ a\overrightarrow{i} - b\overrightarrow{j} + c\overrightarrow{k} = 0.\]
\[4)\ \left\{ \begin{matrix} k\overrightarrow{CA_{1}} + l\overrightarrow{CB_{1}} + m\overrightarrow{CC_{1}} = \overrightarrow{0} \\ k + l + m = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ }\]
\[\frac{\text{lb}}{a - c}\left( - a\overrightarrow{i} + b\overrightarrow{j} + c\left( \overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} \right) \right) =\]
\[= \frac{\text{ac}}{a - b}\left( a\overrightarrow{i} + c\overrightarrow{k} - b\left( \overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \right) \right)\]
\[\frac{\text{lbc}}{a - c}\left( \overrightarrow{k} - \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} \right) =\]
\[= \frac{\text{abc}}{a - b}\left( \overrightarrow{j} - \left( \overrightarrow{i} + \overrightarrow{k} \right) \right)\]
\[\frac{l}{a - c} = - \frac{a}{a - b}\]
\[\left\{ \begin{matrix} l = - \frac{a(a - c)}{a - b}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ l = - l - 1 = \frac{a(a - c)}{a - b} - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]
\[10)\ Таким\ образом:\ \]
\[k\overrightarrow{CA_{1}} + l\overrightarrow{CB_{1}} + m\overrightarrow{CC_{1}} = \overrightarrow{0}.\]
\[Значит:\]
\[точки\ A_{1},B_{1}\ и\ C_{1}\ лежат\ на\ \]
\[одной\ прямой\ (задача\ 907).\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{909.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[H - точка\ пересечения\ высот;\]
\[A^{'},B^{'},C^{'} - симметричны\ A,B\ и\ \]
\[\text{C.}\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[A^{'},B^{'},C^{'} \in описанной\ \]
\[окружности.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Докажем,\ что\ точка\ A^{'}\]
\[лежит\ на\ окружности,\]
\[описанной\ около\ \mathrm{\Delta}ABC.\]
\[Если\ \mathrm{\Delta}ABC -\]
\[остроугольный\ (\angle B < 90{^\circ}):\]
\[\angle CBA^{'} = \angle CBH = 90{^\circ} - \angle C;\]
\[\angle ABA^{'} = 90{^\circ} - \angle C + \angle B.\]
\[2)\ Аналогично:\ \]
\[\angle ACA^{'} = 90{^\circ} - \angle B + \angle C.\]
\[3)\ Таким\ образом,\ \]
\[в\ четырехугольнике\ \text{AB}A^{'}C:\]
\[\angle B + \angle C = 180{^\circ}.\]
\[Следовательно:\ \]
\[вокруг\ него\ можно\ описать\ \]
\[окружность,\ но\ через\ точки\]
\[A,B\ и\ \text{C\ }может\ проходить\ \]
\[только\ одна\ окружность\ \]
\[описанная\ около\ \ \mathrm{\Delta}\text{ABC}.\]
\[4)\ Аналогично - \ для\ B^{'}и\ C^{'}.\]
\[5)\ Если\ \mathrm{\Delta}ABC -\]
\[прямоугольный\ (\angle B = 90{^\circ}):\]
\[точка\ пересечения\ высот\ \]
\[будет\ совпадать\ с\ точкой\ \]
\[B = H,\ \]
\[\Longrightarrow A^{'} = C^{'} = H = B.\]
\[6)\ ABCB^{'} - прямоугольник:\ \]
\[AB^{'} = BC;\]
\[CB^{'} = AB;\]
\[\angle B = 90{^\circ}.\]
\[7)\ Вокруг\ прямоугольника\ \]
\[можно\ описать\ окружность,\ \]
\[но\ через\ точки\ A,B\ и\ \text{C\ }может\ \]
\[проходить\ только\ одна\ \]
\[окружность\ \ описанная\ около\ \]
\[\mathrm{\Delta}\text{ABC}.\]
\[8)\ Если\ \mathrm{\Delta}ABC -\]
\[тупоугольный\ (\angle B > 90{^\circ}):\]
\[\angle AA^{'}B = 180{^\circ} - \angle HA^{'}B =\]
\[= 180{^\circ} - BHA^{'},\ но\]
\[\angle BHA^{'} = \angle BHA =\]
\[= 90{^\circ} - \angle CAH = \angle C.\]
\[10)\ Таким\ образом\ \]
\[в\ четырехугольнике\ AA'BC:\]
\[\angle A^{'} + \angle C = 180{^\circ}.\]
\[Следовательно:\ \]
\[вокруг\ негоможно\ описать\ \]
\[окружность,\ но\ через\ точки\]
\[A,B\ и\ \text{C\ }может\ проходить\ \]
\[только\ одна\ окружность,\ \]
\[описанная\ около\ \mathrm{\Delta}\text{ABC}.\]
\[5)\ Аналогично\ для\ B^{'}и\ C^{'}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
