Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 905
Задание 905
\[\boxed{\mathbf{905.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - четырехугольник;\]
\[M,N,P,Q - середины;\]
\[E,F,G,H - симметричны\ O\ \]
\[относительно\ M,N,P,Q.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[Вид\ EFGH - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ Определим\ вид\ \text{MNPQ.}\]
\[Пусть\ \overrightarrow{\text{AM}} = \overrightarrow{\text{MB}} = \overrightarrow{a},\ \]
\[\overrightarrow{\text{BN}} = \overrightarrow{\text{NC}} = \overrightarrow{b};\ \overrightarrow{\text{CP}} = \overrightarrow{\text{PD}} = \overrightarrow{c},\]
\[\overrightarrow{\text{DQ}} = \overrightarrow{\text{QA}} = \overrightarrow{d}:\]
\[\overrightarrow{\text{AB}} = \overrightarrow{\text{AD}} + \overrightarrow{\text{DC}} + \overrightarrow{\text{CB}}\ \]
\[2\overrightarrow{a} = - 2\overrightarrow{d} - 2\overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{b}\]
\[\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = - \left( \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} \right).\]
\[Отсюда:\ \ \]
\[\overrightarrow{\text{MN}} = - \overrightarrow{\text{QP}} = \overrightarrow{\text{PQ}};\]
\[MN \parallel QP\ и\ MN = QP.\]
\[Следовательно:\ \]
\[MNPQ - параллелограмм.\]
\[2)\ \overrightarrow{\text{OM}} = \overrightarrow{\text{ME}},\ \overrightarrow{\text{ON}} = \overrightarrow{\text{NF}},\overrightarrow{\text{OP}} =\]
\[= \overrightarrow{\text{PG}},\overrightarrow{\text{OQ}} = \overrightarrow{\text{QH}}\ (так\ как\ точки\ \]
\[E,F,G,H\ симметрричны\ точке\ \]
\[\text{O\ }относительно\ точек\ \]
\[M,N,P,Q).\]
\[3)\ Рассмотрим\ треугольник\ \]
\[OEF:\]
\[MN - средня\ линия \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \ EF = 2MN\ и\ MN \parallel EF.\]
\[4)\ Аналогично:\]
\[HG = 2QP\ и\ HG \parallel QP,\ \]
\[EH = 2MQ\ и\ EH \parallel MQ,\]
\[\ FG = 2NP\ и\ FG \parallel NP.\]
\[5)\ Следовательно:\ \]
\[HG = EF\ и\ HG \parallel EF,\ \]
\[EH = FG\ и\ EH \parallel FG.\]
\[Отсюда:\]
\[EFGH - параллелограмм,\ \]
\[каждая\ сторона\ которого\ в\ \]
\[два\ раза\ больше\ чем\ у\ \text{MNPQ.}\]
\[\mathbf{Ответ:}\]
\[EFGH - параллелограмм.\]
\[\boxed{\mathbf{905.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[O_{1} \cap O_{2} = A;\]
\[A \in BC;\]
\[\text{BA\ }и\ AC - хорды.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\text{BC\ }больше,когда\ BC \parallel O_{1}O_{2}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Проведем\ из\ точек\ O_{1}\ и\ O_{2}\ \]
\[перпендикуляры\ к\ прямой\ BC:\]
\[\ O_{1}H_{1}\bot BC\ и\ O_{2}H_{2}\bot BC.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}BAO_{1}\ и\ \mathrm{\Delta}ACO_{2} -\]
\[равнобедренные:\]
\[BO_{1} = O_{1}A = r_{1};\]
\[\ AO_{2} = O_{2}C = r_{2}.\]
\[Значит:\]
\[высоты\ O_{1}H_{1}\ и\ O_{2}H_{2} -\]
\[медианы;\]
\[H_{1}A = \frac{1}{2}BA\ и\ H_{2}A = \frac{1}{2}\text{AC.}\]
\[3)\ BC = 2 \bullet H_{1}H_{2}.\]
\[4)\ H_{1}H_{2}O_{1}O_{2} - прямоугольная\ \]
\[трапеция:\]
\[H_{1}H_{2} = \sqrt{\left( O_{1}O_{2} \right)^{2} - \left( H_{1}O_{1} - H_{2}O_{2} \right)^{2}}\]
\[Значит:\]
\[H_{1}H_{2}\ наибольший\ тогда,\ когда\]
\[\ H_{1}O_{1} = H_{2}O_{2},\ так\ как\]
\[это\ перпендикуляры\ к\ одной\ \]
\[прямой \Longrightarrow когда\ BC \parallel O_{1}O_{2}\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
