Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 869
Задание 869
\[\boxed{\mathbf{869.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\ \]
\[ABCD - трапеция;\ \]
\[AD \parallel BC;\ \]
\[AD > BC;\ \]
\[AB = CD.\]
\[Построить:\]
\[точку\ X \in AD;\ \]
\[d(X,AB) = n \bullet d(X,CD);\]
\[n = 2,3,4.\]
\[Решение.\]
\[Допустим,\ что\ точка\ X\ найдена,\ \]
\[и\ \text{XE}\ = \ \text{nXF},\ где\ XE\ \bot AB,\]
\[XF\bot XD\text{.\ }\]
\[\mathrm{\Delta}AEX\sim\mathrm{\Delta}DFX\ (по\ двум\ углам):\]
\[\angle A = \angle D;\ \angle AEX = \angle DFX =\]
\[= 90{^\circ}\ (трапеция\ равнобедренная)\text{.\ }\]
\[Коэффициент\ подобия:\ \]
\[k = \frac{\text{XE}}{\text{XF}} = n \Longrightarrow AX = n \bullet XD.\]
\[Таким\ образом,\ задача\ \]
\[сводится\ к\ разбиению\ \]
\[отрезка\ \text{AD}\ на\ (n\ + \ 1)\ частей.\]
\[Это\ разбиение\ проводится\ с\ \]
\[использованием\ теоремы\ \]
\[Фалеса.\]
\[Построение.\]
\[1)\ Отложим\ от\ точки\ А\ вниз\ \]
\[произвольный\ луч\ AM,\ под\ \]
\[острым\ углом\ к\ \text{AD}.\]
\[2)\ Выберем\ удобный\ для\ \]
\[работы\ отрезок\ и\ отложим\ его\ \]
\[на\ луче\ \text{AM}\ (n\ + \ 1)раз\ \]
\[(линейкой\ или\ циркулем):\]
\[AA_{1} = A_{1}A_{2} = \ldots = A_{n - 1}A_{n}.\]
\[3)\ Проведем\ прямую\ A_{n}D\ и\ \]
\[параллельную\ ей\ прямую\ \]
\[A_{n - 1}\text{X.\ }\]
\[Отметим\ точку\ пересечения\ \]
\[X\ = \ A_{n - 1}X \cap AD.\]
\[Точка\ X\ - \ искомая.\]
\[\boxed{\mathbf{869.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - выпуклый\ \]
\[четырехугольник;\]
\[P = AC \cap BD;\]
\[\angle ADP = \frac{1}{2}\angle PDC;\]
\[\angle ADP = \frac{2}{3}\angle PAD;\]
\[AD = BD = CD.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[\angle A;\ \angle B;\ \angle C;\ \angle D.\]
\[Доказать:\]
\[AB² = BP \bullet BD.\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[\textbf{а)}\ 1)\ Пусть\ \angle ADP = \alpha:\]
\[\angle PDC = 2\alpha;\]
\[\angle PAD = \frac{3}{2}\text{α.}\]
\[2)\ AD = BD = CD:\ \]
\[точки\ A,\ B,\ C,\ лежат\ \]
\[на\ окружности\ радиуса\ AD.\ \]
\[3)\ На\ дуге\ \ AB = \angle BDA =\]
\[= \text{α\ }вписан\ угол\ \angle ACB =\]
\[= \frac{1}{2}\ дуги\ AB = \frac{\alpha}{2}.\]
\[4)\ На\ дуге\ BC = \angle BDC =\]
\[= 2\alpha\ вписан\ угол\ \angle BAC =\]
\[= \frac{1}{2}\ дуги\ BC = \alpha.\]
\[5)\ Получаем:\]
\[\angle A = \angle BAC + \frac{3}{2}\alpha = \alpha + \frac{3}{2}\alpha =\]
\[= \frac{5}{2}\text{α.}\]
\[\angle D = \alpha + 2\alpha = 3\alpha.\]
\[\angle C = \angle ACB + \angle ACD =\]
\[= \frac{\alpha}{2} + \frac{3}{2}\alpha = 2\alpha.\]
\[\angle B = \angle A + \angle C = \frac{5}{2}\alpha + 2\alpha =\]
\[= \frac{9}{2}\text{α.}\]
\[6)\ Сумма\ углов\ \]
\[четырехугольника:\]
\[\frac{5}{2}\alpha + \frac{9}{2}\alpha + 2\alpha + 3\alpha = 360^{0}\text{\ \ }\]
\[12\alpha = 360^{0}\]
\[\alpha = 30^{0}.\]
\[7)\ Получаем:\]
\[\angle A = \frac{5}{2} \cdot 30^{0} = 75^{0};\ \ \]
\[\angle B = \frac{9}{2} \cdot 30^{0} = 135^{0};\]
\[\angle C = 2 \cdot 30^{0} = 60^{0};\ \ \ \]
\[\angle D = 3 \cdot 30^{0} = 90^{0}.\]
\[Ответ:\ \ \angle A = 75^{0},\ \angle B = 135^{0},\]
\[\ \angle C = 60^{0},\ \angle D = 90^{0}.\]
\[\textbf{б)}\ \mathrm{\Delta}ABP\sim\mathrm{\Delta}DBA - по\ двум\ \]
\[углам:\]
\[\angle B - общий;\ \]
\[\angle BAP = \angle BDA = \alpha = 30^{0}.\]
\[Значит:\ \]
\[\frac{\text{AB}}{\text{BD}} = \frac{\text{BP}}{\text{AB}}\ \]
\[AB^{2} = BP \cdot BD.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
