Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 863
Задание 863
\[\boxed{\mathbf{863.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[A_{1} \in BC;\]
\[B_{1} \in AC;\]
\[C_{1} \in AB;\]
\[M \in AA_{1};\]
\[MA = MA_{1};\]
\[N \in BB_{1};\]
\[NB = NB_{1};\]
\[K \in CC_{1};\]
\[KC = KC_{1}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[M,\ N,\ K - не\ лежат\ на\ одной\ \]
\[прямой.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Построим\ все\ средние\ \]
\[линии\ треугольника.\]
\[\text{AD\ } = \ DB,BE\ = \ EC,AF\ = \ FC,\]
\[\text{DE}\ \parallel AC,\ EF \parallel \text{AB},\ \text{DF}\ \parallel \ ВС.\]
\[2)\ При\ перемещении\ точки\ A_{1}\ \]
\[по\ стороне\ \text{BC}\ точка\ \text{M\ }будет\text{\ \ }\]
\[перемещаться\ по\ средней\ \]
\[линии\ \text{DF}.\ \]
\[Аналогично:\ точка\ N\ будет\ \]
\[перемещаться\ по\ \text{DE},\ \]
\[и\ точка\ K\ - \ по\ \text{EF}\text{.\ }\]
\[3)\ Допустим,\ что\ M,\ N,\ K\ лежат\ \]
\[на\ одной\ прямой\text{.\ }\]
\[Тогда\ D,\ Е,\ F\ также\ лежат\ на\ \]
\[одной\ прямой\text{.\ }\]
\[Значит:\]
\[A;B;C\ лежат\ на\ одной\ прямой\ \]
\[и\ треугольник\ не\ образуют.\]
\[\ Что\ противоречит\ условию.\]
\[Значит,\ наше\ допущение\ \]
\[неверно:\ \ \]
\[M,\ N,\ K\ не\ лежат\ на\ одной\ \]
\[прямой.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
\[\boxed{\mathbf{863.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\ \]
\[F \in AB;E \in AF;\]
\[AE = BF;\ \]
\[CM - медиана;\]
\[EK \parallel AC;FK \parallel BC.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[K \in CM.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Допустим:\]
\[AM = MB = d;\ \ AE = FM = f.\]
\[Получим:\]
\[EM = MF = d - f \Longrightarrow KM -\]
\[медиана\ треугольника\ \text{EFK.}\ \]
\[2)\ Отметим:\]
\[D = AC \cap FK;\ \ G = BC \cap EK\ \]
\[(точки\ пересечения).\]
\[3)\ KGCD - параллелограмм;\ \]
\[KC - его\ диагональ:\]
\[\angle DCG = \angle DKG = \angle C.\]
\[4)\ Достроим\ \mathrm{\Delta}EFK\ до\ \]
\[параллелограмма\ EHFK,\ \]
\[в\ котором\ ( \bullet )\text{M\ }делит\ \]
\[диагонали\ пополам\ \]
\[и\ находится\ на\ \text{KH.}\]
\[5)\ HF \parallel AC\ (по\ построению);\]
\[то\ для\ секущей\ \text{AC}:\ \]
\[D \in \text{FK};\ \]
\[\angle\text{ACH} = \angle\text{HFD} = \angle HFK.\ \ \]
\[Для\ секущей\ EK:\]
\[\ \angle EKH = \angle HFK;\ \ тогда\]
\[\angle ACH = \angle EKH;\ \ EK \parallel AC;\ \ \]
\[K \in CH.\]
\[6)\ Следовательно:\]
\[K \in CH;\ \ M \in KH;\ \ K \in CM.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
