Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 862
Задание 862
\[\boxed{\mathbf{862.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[\text{OB\ }и\ OC - биссектриссы\ \]
\[внешних\ углов;\]
\[O = OB \cap OC;\]
\[AM\bot OB;\]
\[AK\bot OC.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[MK = \frac{AB + BC + AC}{2}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Отметим\ точки\ пересечения:\ \]
\[D = MK \cap AB;\]
\[E = MK \cap AC;\ \]
\[F = AM \cap BC;\]
\[G = AK \cap BC.\]
\[2)\ В\ \mathrm{\Delta}FBA\ BM - биссектрисса\ \]
\[и\ высота:\]
\[\mathrm{\Delta}FBA - равнобедренный\ с\ \]
\[основанием\ FA;\]
\[FB = AB;\ \ FM = MA.\]
\[3)\ В\ \mathrm{\Delta}ACG\ CK - биссектрисса\ и\ \]
\[высота:\]
\[\mathrm{\Delta}ACG - равнобедренный\ с\ \]
\[основанием\ AG;\]
\[CG = AC;\ \ AK = KG.\]
\[4)\ FG = FB + BC + CG =\]
\[= AB + BC + AC.\]
\[5)\ FM = MA;\ AK = KG:\]
\[MK - средняя\ линия;\]
\[MK = \frac{\text{FG}}{2} = \frac{AB + BC + AC}{2}.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
\[\boxed{\mathbf{862.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - остроугольный;\]
\[AA_{1};BB_{1};CC_{1} - высоты;\]
\[A_{2} = AA_{1} \cap B_{1}C_{1};\]
\[B_{2} = BB_{1} \cap A_{1}C_{1};\]
\[C_{2} = CC_{1} \cap A_{1}B_{1}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[A_{1}A_{2};B_{1}B_{2};C_{1}C_{2} -\]
\[биссектрисы;\]
\[\ \mathrm{\Delta}A_{1}B_{1}C_{1}.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Пересечение\ всех\ высот\ \]
\(треугольника\text{\ ABC}\) \(обозначим\ \)
\[( \bullet )\text{M.}\ \]
\[2)\ S = \frac{1}{2}BC \bullet AA_{1} = \frac{1}{2}AC \bullet BB_{1}.\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}BCB_{1}\sim\mathrm{\Delta}ACA_{1} -\]
\[по\ третьему\ признаку\ подобия\ \]
\[треугольников:\ \]
\[BC \bullet AA_{1} = AC \bullet BB_{1};\ \]
\[\frac{\text{BC}}{BB_{1}} = \frac{\text{AC}}{AA_{1}};\]
\[\angle C - общий.\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}CA_{1}B_{1}\sim\mathrm{\Delta}CAB -\]
\[по\ третьему\ признаку\ подобия\ \]
\[треугольников:\ \]
\[\frac{CB_{1}}{CA_{1}} = \frac{\text{BC}}{\text{AC}} = k;\ \]
\[\frac{CB_{1}}{\text{BC}} = \frac{CA_{1}}{\text{AC}} = k;\ \ \]
\[\angle C - общий.\]
\[Следовательно:\ \]
\[\angle B_{1}A_{1}C = \angle A;\ \ \angle MA_{1}C_{2} =\]
\[= 90{^\circ} - \angle A.\]
\[\angle BA_{1}C_{1} = \angle A;\ \ \]
\[\angle MA_{1}B_{2} = 90{^\circ} - \angle A.\]
\[5)\ Отсюда:\]
\[\angle MA_{1}C_{2} = \angle MA_{1}B_{2} = 90{^\circ} - \angle A;\ \ \]
\[A_{1}A_{2} - биссектриса\ \angle A_{1}.\]
\[6)\ Аналогично\ доказывается,\ \]
\[что\ что\ B_{1}B_{2}\ \ и\ C_{1}C_{2}\ \]
\[биссектрисы.\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
