Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 854
Задание 854
\[\boxed{\mathbf{854.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;AB = BC;\]
\[D \in AC;AD = DC;\]
\[DH\bot BC;M \in DH;\]
\[DM = MH.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[M\bot AH.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Проведем\ высоту\ \text{AE\ }к\ \]
\[стороне\ \text{BC}:\]
\[AE \parallel DH;\ \ \angle C - общий \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \mathrm{\Delta}AEC\sim DHC.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}BCD\sim\mathrm{\Delta}DCH - по\ двум\ \]
\[углам:\ \]
\[\angle CHD = \angle CDB = 90{^\circ};\ \]
\[\angle C - общий.\ \]
\[\mathrm{\Delta}BCD\sim\mathrm{\Delta}BDH - по\ двум\ углам:\ \]
\[\angle BHD = \angle BDC = 90{^\circ};\ \ \]
\[\angle B - общий.\]
\[Отсюда:\]
\[\mathrm{\Delta}DCH\sim\mathrm{\Delta}BDH;\ \ \ \ \]
\[\mathrm{\Delta}AEC\sim\mathrm{\Delta}DHC\sim\mathrm{\Delta}BDH.\]
\[3)\ \text{AH\ }и\ BM - сходственные\ \]
\[медианы:\]
\[\mathrm{\Delta}AEH\sim\mathrm{\Delta}BHM.\]
\[4)\ Допустим,\ что\ \angle EHA =\]
\[= \angle BMH = \alpha:\ \]
\[\angle EAH = \angle HBM = 90{^\circ} - \alpha.\]
\[5)\ Рассмотрим\ треугольник\ \]
\[BOH:\]
\[\angle OBH = \angle HBM = 90{^\circ} - \alpha;\ \ \]
\[\angle BHO = \angle EHA = \alpha.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{854.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - параллелограмм;\]
\[K = CK \cap AB;\ \]
\[M = CK \cap AD;\]
\[S_{\text{KBC}} = S_{1};\ \ \]
\[S_{\text{CDM}} = S_{2}.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[S_{\text{ABCD}} - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}AMK\sim\mathrm{\Delta}DMC -\]
\[по\ двум\ углам:\]
\[\angle AMK =\]
\[= \angle DMC\ (как\ вертикальные\ углы);\]
\[AB \parallel CD;\ \ AD - секущая \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \angle KAM = \angle CDM -\]
\[как\ накрест\ лежащие.\]
\[2)\ k = \frac{\text{AM}}{\text{MD}} = \frac{\text{AK}}{\text{DC}};\ \frac{S_{\text{AMK}}}{S_{\text{DCM}}} = k^{2};\ \ \ \]
\[S_{\text{AMK}} = k^{2} \bullet S_{2}.\]
\[3)\ \ \mathrm{\Delta}AMK\sim\mathrm{\Delta}KBC;так\ как\ \]
\[AM \parallel BC.\ \]
\[\frac{\text{KA}}{\text{KB}} = \frac{\text{KA}}{KA + AB} = \frac{1}{1 + \frac{\text{AB}}{\text{KA}}} =\]
\[= \frac{1}{1 + \frac{1}{k}} = \frac{k}{k + 1}.\]
\[S_{\text{AMK}} = \left( \frac{k}{k + 1} \right)^{2} \bullet S_{1}.\]
\[4)\ Запишем\ уравнение:\]
\[S_{\text{AMK}} = k^{2} \bullet S_{2} = \left( \frac{k}{k + 1} \right)^{2} \bullet S_{1}\]
\[(k + 1)^{2} = \frac{S_{1}}{S_{2}}\]
\[k + 1 = \sqrt{\frac{S_{1}}{S_{2}}}\]
\[k = \sqrt{\frac{S_{1}}{S_{2\ }}} - 1.\]
\[5)\ Найдем\ площадь\ \]
\[параллелограмма:\]
\[S_{\text{ABCD}} = S_{1} - S_{\text{AMK}} + S_{2} =\]
\[= S_{1} + S_{2} - \left( \sqrt{\frac{S_{1}}{S_{2\ }}} - 1 \right)^{2} \bullet S_{2} =\]
\[= S_{1} + S_{2} - \left( \frac{S_{1}}{S_{2}} - 2\sqrt{\frac{S_{1}}{S_{2\ }}} + 1 \right) \bullet S_{2} =\]
\[= S_{1} + S_{2} - S_{1} + 2\sqrt{S_{1}S_{2}} - S_{2} =\]
\[= 2\sqrt{S_{1}S_{2}}.\]
\[Ответ:S_{\text{ABCD}} = 2\sqrt{S_{1}S_{2}}.\]
