Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 790
Задание 790
\[\boxed{\mathbf{790.}\mathbf{ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ \mathbf{задачи:}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[ABCD - трапеция;\]
\[AC;BD - диагонали;\]
\[AM = MC;\]
\[BN = ND.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[MN = \frac{1}{2} \bullet (AD - BC).\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[По\ рисунку:\ \ \]
\[MN \parallel AD;\ MN \parallel BC.\]
\[1)\ По\ правилу\ многоугольника:\]
\[\overrightarrow{\text{MN}} = \overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{AD}} + \overrightarrow{\text{DN}};\]
\[\overrightarrow{\text{MN}} = \overrightarrow{\text{MC}} + \overrightarrow{\text{CB}} + \overrightarrow{\text{BN}}\text{.\ }\]
\[2)\ Складываем\ равенства:\]
\[2\overrightarrow{\text{MN}} =\]
\[= \overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{MC}} + \overrightarrow{\text{DN}} + \overrightarrow{\text{BN}} + \overrightarrow{\text{AD}} + \overrightarrow{\text{CB}} =\]
\[= \overrightarrow{\text{AD}} + \overrightarrow{\text{CB}} = \overrightarrow{\text{AD}} - \overrightarrow{\text{BC}}.\]
\[Так\ как\ \ \overrightarrow{\text{MA}} + \overrightarrow{\text{MC}} = \overrightarrow{0};\ \ \]
\[\overrightarrow{\text{DN}} + \overrightarrow{\text{BN}} = \overrightarrow{0}:\]
\[\overrightarrow{\text{MN}} = \frac{\overrightarrow{\text{AD}} - \overrightarrow{\text{BC}}}{2}.\]
\[3)\ \overrightarrow{\text{AD}} \nearrow \nearrow \overrightarrow{\text{BC}};\ \ \overrightarrow{\text{MN}} \nearrow \nearrow \frac{\overrightarrow{\text{AD}} - \overrightarrow{\text{BC}}}{2}:\]
\[\overrightarrow{\text{MN}} \parallel \overrightarrow{\text{AD}} \parallel \overrightarrow{\text{BC}};\ \ \ \]
\[\left| \overrightarrow{\text{MN}} \right| = \frac{1}{2}\left| \overrightarrow{\text{AD}} - \overrightarrow{\text{BC}} \right| = \frac{\overrightarrow{\text{AD}} - \overrightarrow{\text{BC}}}{2}.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
\[\boxed{\mathbf{790.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC - равносторонний,\ \]
\[вписанный\ в\ окружность;\]
\[r = 10\ см.\]
\[\mathbf{Найти:}\]
\[AB - ?\]
\[\mathbf{Решение.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}ABC - равносторонний:\]
\[AB = BC =\]
\[= \text{AC\ }(по\ определению).\]
\[2)\ BH - высота\ и\ медиана\ и\ \]
\[AO - биссектриса\]
\[(так\ как\ \mathrm{\Delta}ABC - равносторонний).\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}AOH - прямоугольный:\]
\[\angle OAH = \frac{\angle A}{2} = \frac{60{^\circ}}{2} =\]
\[= 30{^\circ}\ (так\ как\ AO - биссектр.);\]
\[AO = r = 10\ см;\]
\[\frac{\text{AH}}{\text{AO}} = cos\angle OAH \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow \ AH = 10 \bullet \cos{30{^\circ}} =\]
\[= 10\frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\ см.\]
\[4)\ AB = AH + HC = 2AH =\]
\[= 2 \bullet 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\ см.\]
\[Ответ:AB = 10\sqrt{3}\ см.\]
