Решебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 605

 

\[\boxed{\mathbf{605.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[ABCD - трапеция;\]

\[\mathrm{\Delta}ABC\sim\mathrm{\Delta}ACD;\]

\[BC = a;\]

\[AD = b.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[AC^{2} = a \bullet b.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ \mathrm{\Delta}ABC\sim\mathrm{\Delta}ACD\ (по\ условию):\]

\[\frac{\text{AB}}{\text{CD}} = \frac{\text{AC}}{\text{AD}} = \frac{\text{BC}}{\text{AD}} = k.\]

\[2)\ По\ свойству\ пропорции:\]

\[\frac{\text{BC}}{\text{AC}} = \frac{\text{AC}}{\text{AD}}\ \]

\[AC \bullet AC = BC \bullet AD\]

\[AC^{2} = BC \bullet AD = a \bullet b.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{605.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[\angle C = 90{^\circ};\]

\[AC = BC;\]

\[\text{BDEC\ }и\ AOCK - квадраты.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[S_{\text{BDEC}} = 2S_{\text{AOCK}}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Пусть\ AC = BC = a:\]

\[S_{\text{BDEC}} = a^{2}.\]

\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}BCA -\]

\[прямоугольный:\]

\[BC = AC \Longrightarrow \mathrm{\Delta}BCA -\]

\[равнобедренный;\]

\[CO - медиана \Longrightarrow AO = OB;\]

\[AB^{2} = a^{2} + a^{2} = 2a^{2} \Longrightarrow AB =\]

\[= a\sqrt{2};\]

\[AO = OB = \frac{\sqrt{2}}{2}\text{a.}\]

\[3)\ AC^{2} = AO^{2} + OC^{2};\]

\[OC^{2} = AC^{2} - AO^{2};\]

\[OC^{2} = a^{2} - \frac{2}{4}a^{2} = \frac{1}{2}a^{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} =\]

\[= \frac{\sqrt{2}}{2}\text{a.}\]

\[4)\ S_{\text{AOCK}} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}a \right)^{2} = \frac{2}{4}a^{2} =\]

\[= \frac{1}{2}a^{2}.\]

\[5)\ \left. \ \frac{S_{\text{BDEC}} = a^{2}}{S_{\text{AOCK}} = \frac{a^{2}}{2}} \right| \Longrightarrow S_{\text{BDEC}} =\]

\[= 2 \bullet S_{\text{AOCK}}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]