Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 439
Задание 439
\[\boxed{\mathbf{439.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\text{ABCD} - трапеция;\]
\[\angle A + \angle D = 90{^\circ};\]
\[\text{BN} = \text{NC};\]
\[\text{AM} = \text{MD}.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\text{MN} = \frac{1}{2}\left( \text{AD} - \text{BC} \right).\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ Построим\ \text{NE} \parallel \text{AB}\ и\ \]
\[\text{NF} \parallel \text{CD}:\ \]
\[\text{ABNE}\ и\ \text{NCDF} -\]
\[параллелограммы\ (по\ \]
\[определению\ \]
\[параллелограмма).\ \]
\[2)\ \text{NCDF} - параллелограмм:\]
\[\text{NC} = \text{FD}\ и\ \text{NF} = \text{CD}.\]
\[3)\ \text{ABNE} - параллелограмм:\]
\[\text{BN} = \text{AE}\ и\ \text{AB} = \text{NE}.\]
\[4)\ \text{AM} = \text{MD};\ \text{BN} = \text{NC};\ \]
\[\text{AM} = \text{AE} + \text{EM};\ \]
\[\text{MD} = \text{FD} + \text{MF};\]
\[отсюда:\]
\[\text{EM} = \text{MF} \Longrightarrow \text{NM} - медиана\ в\ \]
\[\mathrm{\Delta}\text{ENF}.\]
\[5)\ \angle A =\]
\[= \angle\text{NEM}\ (как\ соответственные);\]
\[\ \angle D =\]
\[= \angle\text{NFM}\ (как\ соответственные)\text{.\ }\]
\[6)\ \angle D + \angle A =\]
\[= \angle\text{NEM} + \angle\text{NFM} = 90{^\circ}:\]
\[\angle\text{ENF} = 90{^\circ} \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow ⊿\text{ENF} - прямоугольный.\]
\[7)\ В\ прямоугольном\ \]
\[треугольнике\ медиана\ равна\ \]
\[половине\ гипотенузы\ (№404):\ \]
\[\text{NM} = \frac{1}{2}\text{EF}.\]
\[8)\ \text{EF} = \text{AD} - \left( \text{AE} + \text{FD} \right);\]
\[\ \text{BN} = \text{AE};\ \ \text{NC} = \text{FD};\]
\[\text{EF} = \text{AD} - \left( \text{BN} + \text{NC} \right) =\]
\[= \text{AD} - \text{BC}.\]
\[9)\ \text{NM} = \frac{1}{2}\left( \text{AD} - \text{BC} \right).\]
\[\mathbf{Что\ и\ требовалось\ доказать.}\]
\[\boxed{\mathbf{439.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[\angle C = 90{^\circ};\]
\[AC < BC;\]
\[CM - медиана;\]
\[CD - биссектриса;\]
\[CH - высота.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[\angle HCD = \angle MCD.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \angle ACD = \angle BCD = \frac{1}{2}\angle C =\]
\[= \frac{90{^\circ}}{2} = 45{^\circ}\ \]
\[(так\ как\ CD - биссектриса).\]
\[2)\ Пусть\ \angle B = \alpha;\ \ \]
\[\angle A = 90{^\circ} - \alpha:\]
\[\angle ACH = 90{^\circ} - \angle A =\]
\[= 90{^\circ} - (90{^\circ} - \alpha) = \alpha.\]
\[3)\ \mathrm{\Delta}ABC - прямоугольный;\ \ \]
\[CM - медиана:\]
\[CM = MB = MC\ (задача\ 336).\]
\[4)\ \mathrm{\Delta}CMB - равнобедренный:\]
\[\ \angle B = \angle BCM = \alpha.\]
\[5)\ \angle AMC = \alpha + \alpha = 2\alpha\ \]
\[(так\ как\ \angle AMC - внешний).\]
\[6)\ В\ треугольнике\ ACD:\]
\[\angle ADC = 180{^\circ} - (\angle A + \angle ACD) =\]
\[= 180{^\circ} - (90{^\circ} - \alpha + 45{^\circ}) =\]
\[= 45{^\circ} + \alpha;\]
\[\angle CDB = 180{^\circ} - \angle ADC =\]
\[= 180{^\circ} - (45{^\circ} + \alpha) = 135{^\circ} - \alpha.\]
\[7)\ В\ треугольнике\ CDM:\]
\[\angle MCD = \angle BCD - \angle BCM =\]
\[= 45{^\circ} - \alpha.\]
\[8)\ В\ треугольнике\ CHD:\]
\[\angle HCD = \angle ACD - \angle ACH =\]
\[= 45{^\circ} - \alpha.\]
\[9)\ Значит:\ \]
\[\angle MCD = \angle HCD.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]
