Решебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 342

 

\[\boxed{\mathbf{342.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AM - медиана;\]

\[AM - биссектриса.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[Биссектриса - это\ множество\ \]

\[точек\ равноудаленных\ от\ \]

\[сторон\ угла.\]

\[1)\ AM = MC\ \]

\[(так\ как\ AM - медиана):\]

\[каждая\ точка\ \text{BM\ }\]

\[равноудалена\ от\ точек\ \text{A\ }и\ C,\]

\[следовательно,\ BM -\]

\[серединный\ перендикуляр\ \]

\[отрезка\ AC.\]

\[Отсюда:\ \]

\[BM\bot AC.\]

\[2)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}\text{ABM\ }и\ \mathrm{\Delta}BMC -\]

\[прямоугольные:\]

\[AM = MC\ и\ BM - общий\ катет;\]

\[\angle ABM = \angle BMC\ \]

\[(по\ двум\ катетам)\text{.\ }\]

\[Отсюда:\]

\[AB = BC\ \]

\[(по\ свойству\ равных\ фигур).\]

\[3)\ AB = BC:\]

\[\mathrm{\Delta}ABC - равнобедренный.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{342.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Дано:\]

\[окружность\ (O;R);\]

\[\text{AB};\text{CD} - хорды;\]

\[OF\bot AB;\ \ OK\bot CD;\]

\[OF = OK = R.\]

\[Доказать:\]

\[AB = CD.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Соединим\ центр\ окружности\ \]

\[с\ концами\ хорд,\ получим\ \]

\[треугольники\ \text{COD\ }и\ \text{AOB}.\]

\[2)\ ⊿OKD = ⊿OFB -\]

\[прямоугольные,\ по\ катету\ \]

\[и\ гипотенузе:\]

\[OF = OK - по\ условию;\]

\[OD = OB = R.\]

\[Отсюда:\]

\[KD = FB.\]

\[3)\ ⊿AOB;\ \]

\[⊿COD - равнобедренные:\]

\[OA = OB = OC = OD = R.\]

\[AB;CD - основания;\]

\[OK;OF - высоты,\ медианы\ \]

\[и\ биссектрисы.\]

\[Отсюда:\]

\[AF = BF;\ \ CK = DK.\]

\[4)\ Получаем:\]

\[AB = CD.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]