Решебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 341

 

\[\boxed{\mathbf{341.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]

\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathrm{\Delta}ABC;\]

\[AB > AC;\]

\[AD - биссектриса.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[\angle ADB > \angle ADC;\]

\[BD > CD.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Построим:\ \]

\[AC_{1} = AC\ и\ AC_{1} \in AB.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}AC_{1}D = \mathrm{\Delta}ADC - по\ двум\ \]

\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]

\[AD - общая;\ \]

\[\angle C_{1}AD = \angle DAC\ \]

\[(так\ как\ AD - биссектриса);\]

\[AC_{1} = AC.\]

\[Отсюда:\ \]

\[C_{1}D = CD;\ \]

\[\angle AC_{1}D = \angle ACB;\ \]

\[\angle ADC = \angle ADC_{1}.\]

\[3)\ \angle ADC = \angle ADC_{1} < \angle ADB.\]

\[4)\ Рассмотрим\ \mathrm{\Delta}C_{1}BD:\]

\[\angle BC_{1}D = 180{^\circ} - \angle AC_{1}D =\]

\[= 180{^\circ} - \angle ACB =\]

\[= \angle ABC + \angle BAC.\]

\[Значит:\ \]

\[\angle BC_{1}D = \angle ABC.\]

\[5)\ \angle BC_{1}\text{D\ }лежит\ против\ \text{BD\ }и\ \]

\[\angle ABC\ лежит\ против\ C_{1}D,\]

\[\angle BC_{1}D > \angle ABC \Longrightarrow BD > C_{1}\text{D\ }и\ \]

\[C_{1}D = CD:\]

\[BD > CD.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{341.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[Дано:\]

\[окружность\ (O;r);\]

\[\text{AB};\text{CD} - хорды;\]

\[AB = CD;\]

\[OF\bot AB;\]

\[OK\bot CD.\]

\[Доказать:\]

\[OF = OK.\]

\[Доказательство.\]

\[1)\ Соединим\ центр\ \]

\[окружности\ с\ концами\ хорд.\]

\[2)\ ⊿AOB = ⊿COD - по\ трем\ \]

\[сторонам:\]

\[AB = CD - по\ условию;\]

\[OA = OB = OC = OD = r.\]

\[Отсюда:\]

\[\angle A = \angle C.\]

\[3)\ ⊿AOF = ⊿COK - по\]

\[гипотенузе\ и\ острому\ углу:\]

\[AO = OC = r;\]

\[\angle A = \angle C.\]

\[Отсюда:\]

\[OF = OK.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\ \]