Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаРешебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 221
Задание 221
\[\boxed{\mathbf{221.ОК\ ГДЗ - домашка\ на}\ 5}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[\mathbf{Дано:}\]
\[\mathrm{\Delta}ABC;\]
\[BE = EM;\ \]
\[AE = EC;\]
\[BF = FA;\]
\[CF = FN;\]
\[BM \cap AC = E;\]
\[BA \cap CN = F.\]
\[\mathbf{Доказать:}\]
\[A,N,M \in l.\]
\[\mathbf{Доказательство.}\]
\[1)\ \mathrm{\Delta}CBF = \mathrm{\Delta}FNA - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[BF = FA\ (по\ условию);\]
\[CF = FN\ (по\ условию);\]
\[\angle BFC = \angle NFA\ \]
\[(как\ вертикальные).\]
\[Соответствующие\ элементы\ в\ \]
\[равных\ фигурах\ равны:\]
\[\angle BCF = \angle FNA;\ \]
\[\angle CBF = \angle FAN.\]
\[2)\ \mathrm{\Delta}AME = \mathrm{\Delta}BEC - по\ двум\ \]
\[сторонам\ и\ углу\ между\ ними:\]
\[BE = EM\ (по\ условию);\ \]
\[CE = EA\ (по\ условию);\]
\[\angle BEC = \angle AEM\ \]
\[(как\ вертикальные).\]
\[Соответствующие\ элементы\ в\ \]
\[равных\ фигурах\ равны:\]
\[\angle BCE = \angle EAM;\]
\[\angle CBE = \angle EMA.\]
\[3)\ Рассмотрим\ \text{BC\ }и\ AN,\ \]
\[CN - секущая:\]
\[\angle BCF = \angle FNA\ \]
\[(как\ накрестлежащие).\]
\[По\ признаку\ параллельных\ \]
\[прямых:\]
\[BC \parallel AN.\]
\[4)\ Рассмотрим\ \text{BC\ }и\ AM,\ \]
\[BM - секущая:\]
\[\angle CBE = \angle EMA\ \]
\[(как\ накрестлежащие).\]
\[По\ признаку\ параллельных\ \]
\[прямых:\]
\[BC \parallel AM.\]
\[5)\ BC \parallel AN\ и\ BC \parallel AM:\]
\[AN \parallel AM;\]
\[обе\ прямые\ проходят\ через\ A.\]
\[По\ аксиоме\ параллельных\ \]
\[прямых:\]
\[\text{AM}\ и\ \text{AN\ }совпадают;\]
\[A,N\ и\ M\ \in l.\]
\[\boxed{\mathbf{221.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]
\[Рисунок\ по\ условию\ задачи:\]
\[Дано:\ \]
\[DE - биссекстриса\ \angle ADF.\]
\[Найти:\]
\[\angle DAE - ?\]
\[\ \angle AED - ?\]
\[\angle ADE - ?\]
\[Решение.\]
\[1)\ Рассмотрим\ ME\ и\ NF,\ \]
\[AC - секущая:\]
\[\angle MAC + \angle NCA = 78{^\circ} + 102{^\circ} =\]
\[= 180{^\circ}\ (как\ односторонние).\ \]
\[Значит:\ \]
\[2)\ \angle ADE + \angle EDF + \angle ADC =\]
\[= 180{^\circ}\ (как\ смежные);\]
\[\angle ADF = 180{^\circ} - 48{^\circ} = 132{^\circ};\]
\[\angle ADE = \angle EDF = \frac{\angle ADF}{2} =\]
\[= \frac{132{^\circ}}{2} = 66{^\circ}\ \]
\[\left( так\ как\ \text{DE} - биссектриса \right)\text{.\ }\]
\[3)\ \angle EAD = \angle ADC = 48{^\circ}\ \]
\[(как\ накрестлежащие).\]
\[4)\ \angle AED = 180{^\circ} - 48{^\circ} - 66{^\circ} =\]
\[= 66{^\circ}\ \]
\[(по\ теореме\ о\ сумме\ углов).\]
\[Ответ:\ \angle DAE = 48{^\circ};\ \ \]
\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \angle AED = \angle ADE = 66{^\circ}.\]
