Решебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 1431

\[\boxed{\mathbf{1431.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\mathbf{Доказать:\ \ }\]

\[\mathbf{середины\ сторон\ }\]

\[\mathbf{треугольника,\ середины\ }\]

\[\mathbf{отрезков,\ соединяющих\ его\ }\]

\[\mathbf{ортоцентр\ с\ вершинами,\ }\]

\[\mathbf{и\ основания\ высот\ }\]

\[\mathbf{треугольника\ лежат\ на\ одной\ }\]

\[\mathbf{окружности}\mathbf{.}\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ Пусть\ дан\ треугольник\ ABC,\ \]

\[точки\ A_{1},B_{1}\ и\ C_{1}\ являются\ \]

\[серединами\ его\ сторон,\ точки\]

\[\ A_{2},B_{2}\ и\ C_{2}\ являются\ \]

\[основаниями\ высот,\ а\ точки\]

\[H_{1},H_{2}\ и\ H_{3} - середины\ \]

\[отрезков,\ соединяющих\ его\ \]

\[ортоцентр\ \text{H\ }с\]

\[вершинами\ треугольника.\]

\[2)\ Прямые\ C_{1}H_{2}\ и\ \text{AH\ }\]

\[параллельны,\ так\ как\ они\ \]

\[отсекают\ равные\ отрезки\]

\[на\ сторонах\ угла\ ABH:\ \ \]

\[AC_{1} = C_{1}\text{B\ }и\ BH_{2} =\]

\[= H_{2}\text{H\ }(теорема\ Фалеса).\]

\[3)\ Прямые\ B_{1}H_{3}\ и\ \text{AH\ }\]

\[параллельны,\ так\ как\ они\ \]

\[отсекают\ равные\ отрезки\]

\[на\ сторонах\ угла\ ACH:\ \ \]

\[AB_{1} = B_{1}\text{C\ }и\ HH_{3} =\]

\[= H_{3}\text{C\ }(теорема\ Фалеса).\]

\[4)\ Значит,\ отрезки\ C_{1}H_{2}\ и\ B_{1}H_{3}\ \]

\[параллельны,\ так\ как\ они\ \]

\[параллельны\ одной\ прямой\ \]

\[\text{AH.}\]

\[5)\ Отрезки\ C_{1}B_{1}\ и\ H_{2}H_{3}\ \]

\[параллельны\ (как\ средние\ \]

\[линии\ треугольников\ \text{BCH\ }и\ \]

\[\text{BCA\ }с\ общим\ основанием\ BC).\]

\[7)\ Следовательно,\ \]

\[четырехугольник\ C_{1}B_{1}H_{3}H_{2} -\]

\[параллелограмм,\ но\ AH\bot BC:\ \]

\[C_{1}H_{2}\bot C_{1}B_{1}\ и\ B_{1}H_{3}\bot H_{2}H_{3};\]

\[C_{1}B_{1}H_{3}H_{2} - прямоугольник.\]

\[8)\ Аналогично\ доказывается,\ \]

\[что\ прямоугольником\ \]

\[является\ четырехугольник\ \]

\[C_{1}H_{1}H_{3}A_{1}.\]

\[9)\ Значит,\ отрезки\ A_{1}H_{1},\ B_{1}H_{2}\ \]

\[и\ C_{1}H_{3}\ равны\ (по\ свойству\ \]

\[диагоналей\ прямоугольника)\ \]

\[и\ пересекаются\ в\ одной\ точке\ \]

\[\text{O.}\]

\[10)\ Следовательно,\ середины\ \]

\[сторон\ данного\ треугольника\ \]

\[и\ середины\ отрезков,\ \]

\[соединяющих\ его\ ортоцентр\ \]

\[с\ вершинами,\ лежат\ на\ одной\]

\[окружности\ с\ центром\ O,\ \]

\[являющейся\ окружностью\ \]

\[Эйлера.\]

\[11)\ На\ этой\ окружности\ лежит\ \]

\[и\ \ основание\ высоты\ AA_{2},\]

\[\ так\ как\ углы\]

\[A_{1}A_{2}H_{1}\ и\ A_{1}C_{1}H_{1} - прямые,\]

\[\ поэтому\ их\ вершины\ лежат\ \]

\[на\ одной\ окружности\ \]

\[с\ диаметром\ A_{1}H_{1}.\]

\[12)\ Аналогично\ доказывается,\ \]

\[что\ основания\ высот\ BB_{2}\ и\]

\[\ CC_{2}\ тоже\ лежат\ на\ этой\ \]

\[окружности.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]