Решебник по геометрии 8 класс Атанасян ФГОС Задание 1413

\[\boxed{\mathbf{1413.еуроки - ответы\ на\ пятёрку}}\]

\[\mathbf{Дано:}\]

\[\text{ABCD\ }и\text{\ A}_{1}B_{1}C_{1}D_{1} -\]

\[параллелограммы;\]

\[AC = A_{1}C_{1};\]

\[BD = B_{1}D_{1};\]

\[\angle AOB = \angle A_{1}O_{1}B_{1}.\]

\[\mathbf{Доказать:}\]

\[ABCD = A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.\]

\[\mathbf{Доказательство.}\]

\[1)\ ABCD\ и\ A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} -\]

\[параллелограммы:\]

\[точки\ пересечения\ делят\ \]

\[диагонали\ пополам;\]

\[AO - OC = A_{1}O_{1} = O_{1}C_{1};\]

\[BO = OD = B_{1}D_{1}.\]

\[2)\ \mathrm{\Delta}AOB = \mathrm{\Delta}A_{1}O_{1}B_{1} -\]

\[по\ первому\ признаку:\]

\[AO = A_{1}O_{1};\]

\[BO = B_{1}O_{1};\]

\[\angle AOB = \angle A_{1}O_{1}B_{1}.\]

\[Существует\ наложение\ \ f:\]

\[\mathrm{\Delta}AOB\overset{f}{\rightarrow}\mathrm{\Delta}A_{1}O_{1}B_{1}.\]

\[Вершины\ A\overset{f}{\rightarrow}A_{1};\ \ B\overset{f}{\rightarrow}B_{1}\ \]

\[совместятся\ при\ этом\ \]

\[наложении.\]

\[3)\ Совместятся\ и\ диагонали\ \]

\[\text{AC\ }и\ A_{1}C_{1};\ BD\ и\ B_{1}D_{1}:\]

\[как\ продолжения\ сторон\ \]

\[наложенных\ треугольников.\]

\[Отрезки\ диагоналей\ равны,\ \]

\[поэтому\ совместятся\ \]

\[вершины:\]

\[C\overset{f}{\rightarrow}C_{1};\ \ D\overset{f}{\rightarrow}D_{1}.\]

\[Все\ четыре\ вершины\ при\ \]

\[наложении\ \ совмещаются:\]

\[\text{ABCD}\overset{f}{\rightarrow}A_{1}B_{1}C_{1}D_{1};\]

\[ABCD = A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]